Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis
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Considere as seguintes afirmações:
- Seja uma função diferenciável que possui um único ponto crítico. Se este ponto crítico é um entremante local de , então é extremante global de .
- Considere as e . Se as imagens de e estão contidas no gráfico de e é um ponto crítico de , então é um ponto de sela de .
- Se é um subconjunto não vazio e limitado de e é contínua, então é limitada em .
Assinale a alternativa correta:
- Somente a afirmação I é verdadeira
- Somente a afirmação II é verdadeira
- Somente a afirmação III é verdadeira
- Somente as afirmações I e II são verdadeiras
- Somente as afirmações II e III são verdadeiras
Passo 1
Vamos analisar as afirmativas.
“Seja uma função diferenciável que possui um único ponto crítico. Se este ponto crítico é um entremante local de , então é extremante global de .”
A função
Possui apenas um ponto crítico, o ponto que é um ponto de mínimo local, porém não é um ponto de mínimo global.
Logo, este é um contra exemplo que mostra que nossa afirmativa é falsa.
Passo 2
“Considere as e . Se as imagens de e estão contidas no gráfico de e é um ponto crítico de , então é um ponto de sela de .”
Se as imagens das curvas estão contidas no gráfico de significa que
Assim, para a curva temos
E para a curva temos
Se você reparar, essas duas curvas nada mais são do que duas formas (ou caminhos) diferentes de nos aproximarmos do pontos .
Se a gente se aproxima pela curva significa que a gente ta se aproximando da origem pelo eixo e nesse caso, é uma parábola virada para cima e assim, é um ponto de mínimo.
Agora, se a gente se aproxima da origem pela curva , significa que a gente ta se aproximando pelo eixo e nesse caso, é uma parábola virada para baixo e assim, é um ponto de máximo.
Opa, mas se por um caminho é ponto de mínimo e por outro caminho é ponto de máximo, então na real ele não é uma coisa nem outra né.. ele é ponto de sela.
Afirmativa parece louca, mas no final é verdadeira.
Passo 3
“Se é um subconjunto não vazio e limitado de e é contínua, então é limitada em .”
Vamos pensar num conjunro limitado (que é aquele que tá totalmente contido dentro de uma ‘bola’ centrada na origem).
Ele está totalmente contido dentro da circunferência de raio, sei lá, 4, centrada na origem, então, é limitado.
E também é não vazio.
Agora vamos pensar numa função definida nesse conjunto, por exemplo,
Essa função é composta por função polinomial, logo é contínua em seu domínio, que é justamente o conjunto .
Mas ela não é limitada em , ou seja, ela se extende para além do conjunto . A imagem dela é formada por números que estão fora do conjunto , no bom e velho português.
Logo, essa afirmativa é falsa.