Seja
Usando o método dos Multiplicadores de Lagrange para funções de três variáveis, determine os pontos de mais próximos da origem.
Passo 1
A função a ser minimizada é o a distância de um ponto até a origem, ou seja:
Jogada de mestre: minimizar a função distância, é equivalente a minimizar o quadrado da função distância, isto é:
Basta minimizar essa função para pontos restritos as duas equações que definem :
Ok, sem mais enrolação, como temos duas restrições, e chamamos a primeira de e a segunda de , o método dos multiplicadores de LaGrange fia:
Passo 2
Vamos ao cálculo dos gradientes.
Passo 3
Agora jogamos tudo na equação dos multiplicadores de LaGrange:
Montando o sistema, igualando as coordenadas dos vetores, temos:
Show? Vamos continuar resolvendo esse sistema!
Passo 4
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Assim,
Substituindo isso na ultima equação:
Logo,
Colocando esses resultados na equação conseguimos descobrir também o valor de .
Atenção! porque como devemos considerer todas as combinações possiveis de sinais para os pontos. Assim podemos ter um caso com positive e negativo e vice versa, beleza?
Passo 5
Portanto, temos os pontos:
Como estamos buscando apenas pontos de mínimo e todos esses pontos se encontram no interior de uma bola centrada na origem que contém (ou seja, é compacto) eles são, de fato, pontos de mínimo.