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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Exercício 361234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596

Enunciado

Seja

f x , y = x 3 y 2 + a x 2 + b x

Onde a ,   b são constantes reais. Assinale a alternativa cujos valores de a ,   b   fazem do ponto P = ( 1,0 ) um ponto de mínimo local de f :

  1. a > 0   e   b = - 2 a
  2. a < 0   e   b = 2 a
  3. a < 0   e   b = - 2 a
  4. a > 0   e   b = 2 a
  5. a > 0   e   a = 2 b

Passo 1

Vamos fazer o teste da derivada segunda para classificar o ponto critico P = ( 1,0 ) .

Primeiro, calculando as derivadas primeiras:

f x , y = x 3 y 2 + a x 2 + b x

f x = 3 x 2 y 2 + 2 a x + b

f y = 2 x 3 y

Calculando as derivadas segundas:

f x x = 6 x y 2 + 2 a ⇒ f x x 1,0 = 2 a

f y y = 2 x 3   ⇒ f y y 1,0 = 2

f x y = f y x = 6 x 2 y   ⇒ f x y 1,0 = f y x 1,0 = 0

Passo 2

Calculando H 1,0 :

H 1,0 = f x x 1,0 f x y 1,0 f y x 1,0 f y y 1,0

H 1,0 = 2 a 0 0 2

H 1,0 = 4 a - 0 = 4 a

Passo 3

Para ( 1,0 ) ser ponto de mínimo:

H 1,0 = 4 a > 0

a > 0

E

f x x 1,0 = 2 a > 0

a > 0

Além disso, como ( 1,0 ) é ponto crítico, sabemos que as derivadas parciais nesse ponto tem que ser nulas, assim:

f x 1,0 = 3 . 1 2 . 0 2 + 2 a . 1 + b = 0 ⇒ b = - 2 a

f y 1,0 = 2 . 1 3 . 0 = 0

Resposta

l e t r a   a

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