A soma das coordenadas do ponto da superfície
Pertencente ao semiespaço superior e mais próximo da origem é:
Passo 1
Vamos lá, queremos encontrar o máximo de uma função, percebe? É da função distância! Ela, em pode ser dada por:
Acontece que encontrar o máximo da função distancia dá no mesmo que encontrar o máximo da função distancia ao quadrado, sendo que essa segunda é muito mais fail nas contas porque não vai ter essa raíz chata. Então bora lá, nossa função vai ser:
Mas ela está restrita a superfície
E ao semiespaço superior, isto é, temos que ter
Assim, podemos definir nossa restrição como
Passo 2
Agora vamos calcular os gradientes de e de .
E
Passo 3
Resolvendo a equação matricial
Passo 4
Igualando as coordenadas e adicionando a equação da restrição, temos o sistema:
Agora vamos ao macete máster: sempre colocar tudo que der em evidência!! A questão foi feita para isso e isso vai facilitar nossa vida na hora de resolver o sistema.
Dito isso, ficamos com:
Como ta tudo multiplicado por 2, podemos cortar esses 2:
Passo 5
Agora vamos resolver o sistema:
Da primeira equação tiramos que
Ou
Mas, não é solução, pois nosso ponto tem que ser pertencente ao semiespaço superior, ou seja, temos que ter .
E da segunda equação tiramos que
Que já sabemos que não é solução, ou
Igualando e tiramos que
Assim,
Substituindo isso na equanção da restrição, tiramos que
Assim, temos os pontos
Mas, como , somente o ponto pertence ao semiespaço superior.
Assim, a soma das coordenadas vale .