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P2 de Cálculo 4 da USP - 2019

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Cálculo 4 - USP

Questão 1: Considere as seguintes afirmações:

  1. Podemos construir uma série de potências com intervalo de convergência ] - ∞ ,   1 [ .
  2. Se ∑ n = 0 ∞ a n x n uma série de potências com raio de convergência R > 0 então a série

    3. ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

    Possui o mesmo raio de convergência.

  3. Se a série ∑ n = 0 ∞ a n 2 n converge então o raio de convergência da série de potências

∑ n = 0 ∞ a n x n

É maior ou igual a 2 .

Podemos afirmar que:

  1. Só (2) é verdadeira.
  2. Todas são verdadeiras.
  3. Só (2) e (3) é verdadeiras.
  4. Só (3) é verdadeira.
  5. Só (1) e (2) são verdadeiras.

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Questão 10: Sejam f x = arctan ⁡ x e α ∈ R .

Podemos afirmar que:

  1. lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ x - x - x 3 3 + x 5 5 x 7 = 1 / 5
  2. lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ x - x - x 3 3 + x 5 5 x α = 0   p a r a   t o d o   α < 7
  3. lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ x - x - x 3 3 + x 5 5 x 7 = 1 / 7  
  4. lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ x - x - x 3 3 + x 5 5 x 5 = - 1 / 7
  5. lim x → 0 + ⁡ arctan ⁡ x - x - x 3 3 + x 5 5 x α = ∞   p a r a   t o d o   α ≥ 7

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Questão 11: Qual é o terceiro termo não nulo da série de Taylor centrada no zero da função f x = sin 2 ⁡ x ?

  1. 2 5 6 ! x 6
  2. - 2 5 6 ! x 6
  3. 2 3 4 ! x 4
  4. - 2 3 4 ! x 4
  5. 2 4 6 ! x 6

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Questão 2: Dadas três funções

f x = e x ,     g x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! ,             h x = ∑ n = 0 ∞ e x - 1 n n !

Considere as afirmações:

  1. Existe x ∈ R tal que f x ≠ h x .
  2. lim x → 0 ⁡ g x - 1 x = 1 .
  3. h ' 2 = e 2 .

Podemos afirmar que:

  1. Todas as afirmações são verdadeiras.
  2. Apenas as afirmações (1), (2) são verdadeiras.
  3. Apenas a afirmação (3) é verdadeira.
  4. Apenas as afirmações (1) e (3) são verdadeiras.
  5. Apenas as afirmações (2) e (3) são verdadeiras.

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Questão 12: Seja f : 0 ,   2 → R definida por

f x = x                               s e                   x ∈ [ 0 ,   1 ]   2 - x                 s e                     x ∈ ] 1,2 ]

O terceiro coeficiente b 3 da série de senos de f x é igual a:

  1. - 8 9 π 2
  2. - 4 9 π 2
  3. - 16 9 π 2
  4. - 8 3 π
  5. - 4 3 π

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Questão 7: Seja

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x

A série de Fourier da função f , periódica de período 2 π , definida por

f x = 1                   s e         x ∈ 0 ,   π             0                 s e             x ∈ ] - π , 0 [

E seja S x sua soma. Podemos afirmar que:

  1. S x = f x para todo x ∈ ] - π ,   π ] .
  2. S π = 1 2 .
  3. S x = f x apenas se x ∈ [ 0 ,   π [ .
  4. a 0 = π 2 .
  5. b n = 2 2 n - 1 π para todo inteiro n > 0 .

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Questão 5: Seja f : 0 ,   2 → R a função

f x = 1 ,                     x ∈ [ 0 ,   1 ]   1 + x ,           x ∈ ] 1,2 ]

A soma da série de cossenos da f x é:

  1. 1 - x ,                     x ∈ [ - 2 , -   1 [ 1 ,                                     x ∈ - 1 ,   1           1 + x ,                     x ∈ ] 1,2 ]                      
  2. 1 - x ,                     x ∈ [ - 2 , -   1 [ 1 ,                                     x ∈ ] - 1 ,   1 ]           1 + x ,                     x ∈ ] 1,2 ]                     3 2 ,                                   x = - 1                        
  3. 1 - x ,                     x ∈ [ - 2 , -   1 [ 1 ,                                     x ∈ ] - 1 ,   1 [           1 + x ,                     x ∈ ] 1,2 ]                     3 2 ,                                   x = ± 1                        
  4. - 1 + x ,                     x ∈ [ - 2 , -   1 [ - 1 ,                                     x ∈ ] - 1 ,   0 [           1 ,                                             x ∈ [ 0,1 [                   1 + x ,                           x ∈ ] 1,2 ]                   - 3 2 ,                                   x = - 1                        
  5. - 1 + x ,                     x ∈ [ - 2 , -   1 [ - 1 ,                                     x ∈ [ - 1 ,   0 [           1 ,                                             x ∈ [ 0,1 ]                   1 + x ,                           x ∈ ] 1,2 ]                    

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Questão 4: Seja f x = x 2 - 1 , para 0 ≤ x ≤ 1 e f x = f x - 1 para 1 < x ≤ 2 . Denotamos por S x a soma da série de senos da função f x . Quais são os valores de S 1 ,   S - 1   e   S - 1 2 ?

  1. 0 ,   0 , 3 4
  2. - 1 2 , 1 2 , 3 4
  3. - 1 2 , 1 2 ,   - 3 4
  4. 1 2 ,   - 1 2 , 3 4
  5. 1 2 , 1 2 ,   - 3 4

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Questão 3: Sejam c 0 , c 1 , c 2 , c 3 ∈ R de modo que a integral abaixo assuma o menor valor possível

∫ - π π x - c 0 - c 1 cos ⁡ x - c 2 sin ⁡ x - c 3 sin ⁡ 2 x 2 d x

Então c 2 é igual a...

  1. 2
  2. 2 π
  3. 1 2 π
  4. - 1
  5. 1 π .

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Questão 8: Considere as séries numéricas

  1. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 3 n
  2. ∑ n = 1 ∞ n 2 3 n

Podemos afirmar que:

  1. A série (1) converge para ln ⁡ 3 e a série (2) converge para 9 .
  2. A série (1) converge para - ln ⁡ 2 / 3 e a série (2) converge para 6 .
  3. A série (1) converge para ln ⁡ 5 / 2 e a série (2) converge para 6 / 25 .
  4. A série (1) converge para ln ⁡ 3 e a série (2) converge para 6 .
  5. A série (1) converge para - ln ⁡ 5 / 2 e a série (2) converge para - 6 / 25 .

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Questão 9: Seja f x a função definida por

f x = 1                           s e                 x = 0                   ln ⁡ 1 + x x                 s e                 x ≠ 0 ,             x > - 1

Se ∑ n = 1 ∞ a n x n é a série de Taylor de F x = ∫ 0 x f t d t em torno do ponto 0 , podemos afirmar que:

  1. a n = - 1 n + 1 n 2       e       F 1 2 < 1 2
  2. a n = - 1 n + 1 n       e       F 1 2 < 1 2
  3. a n = - 1 n + 1 n + 1       e       F 1 2 < 1 2
  4. a n = - 1 n + 1 n 2       e       F 1 2 > 1 2
  5. a n = - 1 n + 1 n + 1       e       F 1 2 > 1 2

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