Questão 5: Seja a função
A soma da série de cossenos da é:
Passo 1
Pow acho interessante aqui começarmos por um esboço da , neh?
Sabemos que possui esse perfil aqui para :
Então estamos falando dessa reta vermelha constante aqui:
Já para :
A reta em azul! Temos uma bola aberta no extremo esquerdo dessa reta, pois a função está aberta em na reta .
Passo 2
Agora, toda vez que tivermos falando de série de Fourier, temos que necessariamente ter uma função periódica infinita. No nosso caso, a função não é periódica infinita . Mas a gente pode construir uma extensão periódica não é verdade?
Podemos construir uma extensão tanto em cossenos, ou também conhecida como par, como podemos construir uma em senos, conhecida como ímpar. Pelo enunciado, é essa primeira aí que queremos!
A extensão par tem que ser refletida uma vezes, uma pro lado:
Passo 3
Em termos matemáticos, a extensão par significa isso aqui:
As duas primeira são exatamente a função sem modificar, enquanto as duas últimas, elas são assim, pois na extensão par:
Então
Para o intervalo fechado em (ele é a reflexão do da e a é fechada em ) e aberto em , pois o , já tem o fechado.
Já o ...
O intervalo dele tem que estar fechado em , pois o lado direito está fechado em , e aberto em , pelo lado direito estar aberto em .
A soma da série de Fourier, por definição será igual à função onde a função é contínua:
Porém, ela deve ser para os pontos de descontinuidade:
Para quando a função é descontínua! Onde é o valor da função pela esquerda, e o valor pela direita.
No caso de e o , trata-se de um ponto de descontinuidade:
O valor da soma em ambos os caso é:
Pois em ambos a função é de um lado e do outro!
A gente pode agora indexar o intervalo de e , pois esse intervalão é contínuo e a função vale . Então a partira de agora vamos falr que a função é de
Isso nos dá a letra...
Resposta
Alternativa