Questão 1: Considere as seguintes afirmações:
- Podemos construir uma série de potências com intervalo de convergência .
- Se uma série de potências com raio de convergência então a série
- Se a série converge então o raio de convergência da série de potências
Possui o mesmo raio de convergência.
É maior ou igual a .
Podemos afirmar que:
- Só (2) é verdadeira.
- Todas são verdadeiras.
- Só (2) e (3) é verdadeiras.
- Só (3) é verdadeira.
- Só (1) e (2) são verdadeiras.
Passo 1
Vamos analisar Item a item e verificar essa questão aí. Bora? Começando pelo Item 1 aqui então:
“Podemos construir uma série de potências com intervalo de convergência .”
Pow! Para termos um intervalo como esse, o raio teria que ser infinito, não é mesmo? Pois só com o raio infinito atingiríamos esse menos infinito aí. O problema é que com o raio infinito, o intervalo que teríamos seria:
Pois Raio infinito faz com o intervalo seja infinito (em ambas as direções sempre). Então essa alternativa é Falsa.
Passo 2
Essa série aqui:
É a derivada dessa outra série aqui:
Ou seja:
Ora, quando derivamos uma função em um intervalo aberto , a função que encontramos através da derivação, possui o mesmo intervalo aberto . Isso é propriedade de derivadas na verdade, neh? Bem, Isso significa que essas duas funções soma aí em cima, possuem o mesmo intervalo aberto de convergência.
Infelizmente, a gente só não pode afirmar sobre as pontas e , mas isso nem é importante para o nosso problema, pois apenas sabendo que elas possuem o mesmo intervalo aberto de convergência, é o suficiente para afirmar que ambas possuem o mesmo Raio de convergência.
Passo 3
Ora, vamos fazer a seguinte consideração:
Então:
Porém o que significa assumindo que a série converge? Significa que a série tem um raio de convergência , não é isso?
Então se a gente assumir agora que ...
E afirmarmos que essa série que tem o converge, isso só pode significar que a série do converge pelo menos dentro do intervalo:
Mas como , pode ser que ele convirja em um número maior ou igual a :
Nesse caso, o raio é de , e, portanto: . Então a afirmação é verdadeira!