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Exercícios Resolvidos de Teorema da Convergência de Fourier

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Enunciado

Questão 7: Seja

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x

A série de Fourier da função f , periódica de período 2 π , definida por

f x = 1                   s e         x ∈ 0 ,   π             0                 s e             x ∈ ] - π , 0 [

E seja S x sua soma. Podemos afirmar que:

  1. S x = f x para todo x ∈ ] - π ,   π ] .
  2. S π = 1 2 .
  3. S x = f x apenas se x ∈ [ 0 ,   π [ .
  4. a 0 = π 2 .
  5. b n = 2 2 n - 1 π para todo inteiro n > 0 .

Passo 1

Pow, de acordo com o Teorema de Fourier, a gente pode afirmar que a soma S x é a função nos pontos do interior dos intervalos:

S x = f x = 1                   s e         x ∈ ] 0 ,   π [               0                 s e             x ∈ ] - π , 0 [

Logo a letra a é falsa, pois S 0 não é a função f x , pois 0 não é um ponto de interior e sim de extremo.

Passo 2

Pow, vamos verificar aqui a letra b :

S π = 1 2

Pow, perceba que π é um ponto extremo da função f x . Logo, por Fourier:

S π = f - π + f + π 2

Como f - π = 1 e o f pela direita é 0 :

S π = 1 + 0 2 = 1 2

Então aparentemente a letra b está certa!

Passo 3

Mas vamos verificar os itens só pra ter certeza?

Pow, a letra c está errada, pois já sabemos que:

S x = f x = 1                   s e         x ∈ ] 0 ,   π [               0                 s e             x ∈ ] - π , 0 [

Para verificar a d e e , temos que nos lembrar de que de acordo com Fourier:

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

b n = 1 L ∫ - L L f x sin ⁡ n π x L d x

Calculando então o a 0 já que L = π (metade do período):

a 0 = 1 π ∫ - π π f x d x

Mas f tem duas definições nesse intervalo:

f x = 1                   s e         x ∈ 0 ,   π             0                 s e             x ∈ ] - π , 0 [

Então temos que separar a integral em duas partes:

a 0 = 1 π ∫ - π 0 f x d x + ∫ 0 π f x d x   →

a 0 = 1 π ∫ - π 0 0 d x + ∫ 0 π 1 d x   →

a 0 = 1 π ∫ 0 π 1 d x   →

a 0 = 1 π π - 0 = 1

Para calcular o b n ...

b n = 1 L ∫ - L L f x sin ⁡ n π x L d x     →

Separando a função em duas vertentes...

b n = 1 π ∫ - π π f x sin ⁡ n π x π d x = 1 π ∫ - π 0 f x sin ⁡ n π x π d x + ∫ 0 π f x sin ⁡ n π x π d x   →

b n = 1 π ∫ - π 0 0 d x + ∫ 0 π 1 sin ⁡ n π x π d x   →

Agora integrando...

b n = 1 π ∫ 0 π sin ⁡ n π x π d x   →

b n = 1 π - cos ⁡ n x n 0 π = 1 π - cos ⁡ n π n - - cos ⁡ 0 n     →

Como o cosseno de n π é - 1 n ...

b n = 1 π - - 1 n n - - 1 n   →

b n = 1 π - - 1 n - 1 n

O o item e também está errado!

Resposta

Alternativa

b

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