Questão 9: Seja a função definida por
Se é a série de Taylor de em torno do ponto , podemos afirmar que:
Passo 1
Então, já é manjado por nós, que a série de Taylor de uma função , representa essa função nos pontos em que converge. Em outras palavras, podemos dizer isso daqui com relação à série de Taylor de uma função :
Ou seja:
Beleza! Mas e aí? Bem, eu não sei você, mas ao ver essa integral, me deu uma vontade de deririvar kkk. Afinal de contas, na derivada, a integral desaparece . Derivando então de ambos os lados...
De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, temos que:
Como no nosso caso...
Por último, derivando esse outro lado aí (a série)...
Tá, mas agora? Bem, agora, sabemos quem é :
Então...
Basta agora encontrar uma representação em série para esse termo do lado direito e comparar os dois, saca? Assim a gente descobre quem é o . Bora lá então?
Passo 2
Veja bem, sabemos que:
Então podemos encontrar a derivada desse carinha simplesmente aplicando a regra de derivada de fração...
Agora olha que massa, se a gente separar o aí...
Quem é esse amiguinho daqui ? É a própria , right? Colocando como série...
Agora, quem é em termos de série também? Poxa, basta comparar com a série geométrica:
Ou seja:
Logo, concluímos que a derivada de é...
Agora, quem é a derivada em termos de série? Poxa, sabemos quem é a em termos de série:
Derivando mais uma vez então...
Finalmente, podemos substituir na antepenúltima equação, onde a gente vai ganhar isso daqui:
Basicamente, o que temos que fazer agora é simplificar essas três séries de forma a encontrar o , vamos nessa?
Passo 3
Vamos começar tal simplificação, primeiro lembrando que podemos passar essa divisão por para dentro da série:
Bem, pra gente colocar essas duas séries do lado direito dentro de uma única, primeiro temos que mudar o em cima do para (pra ficar a mesma coisa que a outra série, saca?). Para fazer isso, basta colocar um na frente de todo ...
Agora sim podemos colocar essas duas séries dentro de uma só:
Para essas duas séries serem iguais esses dois termos dos colchetes devem ser iguais também:
Simplificando...
Na resposta não tem isso daí, mas tem isso daqui:
Que no fundo é a mesma coisa, afinal quer ver só:
E assim vai para qualquer outro , saca? De fato...
Passo 4
Beleza, então temos que verificar apenas a outra condição, não é mesmo? Quem é o ?
Conhecendo o , a gente também conhece uma expressão para em série para como vimos lá no passo :
Substituindo o por ...
Se a gente desembrear essa série aí, vamos ter o seguinte...
Simplificando esses termos aí, vamos ganhar:
Perceba então que estamos sempre somando e subtraindo termos cada vez menores em módulo. Os dois maiores em módulo são e , mas a soma dos dois é menor que . Assim, assim, qualquer outro termo que somamos ou subtraímos vai ser cada vez menor fazendo que a série sempre chega perto de , mas nunca maior, afinal de contas afinal de contas o maior termo presente nessa soma é o , saca?
Logo a resposta correta é a letra...