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Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

Questão 8: Considere as séries numéricas

  1. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 3 n
  2. ∑ n = 1 ∞ n 2 3 n

Podemos afirmar que:

  1. A série (1) converge para ln ⁡ 3 e a série (2) converge para 9 .
  2. A série (1) converge para - ln ⁡ 2 / 3 e a série (2) converge para 6 .
  3. A série (1) converge para ln ⁡ 5 / 2 e a série (2) converge para 6 / 25 .
  4. A série (1) converge para ln ⁡ 3 e a série (2) converge para 6 .
  5. A série (1) converge para - ln ⁡ 5 / 2 e a série (2) converge para - 6 / 25 .

Passo 1

Beleza, então vamos começar aqui procurando o valor dessa série aqui:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 3 n

Primeiro, vamos tirar esse 2 / 3 e colocar um x , apenas para ficar com uma série de potências que sabemos lidar melhor:

∑ n = 1 ∞ x n n

Agora, repare que essa série aí, parece muito ter vinda de uma integral! Então, que tal aplicarmos a integral e a derivada ao mesmo tempo (ao mesmo tempo uma cancela a outra):

∑ n = 1 ∞ x n n = ∫ d d x ∑ n = 1 ∞ x n n d x =

Perceba que colocamos a derivada no interior, porque o intuito é derivar esse termo de dentro que parece ser tranquilamente derivável (de forma que esse n ) até mesmo soma:

∫ ∑ n = 1 ∞ d d x x n n d x = ∫ ∑ n = 1 ∞ x n - 1 d x =

Poxa, agora quem é essa série aí? Parece muito com a série geométrica não é mesmo?

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x

E a gente pode chegar na mesma série fazendo uma troca de variáveis de forma que:

n - 1 = m       o u       n = m + 1

Então...

∫ ∑ n = 1 ∞ x n - 1 d x = ∫ ∑ m + 1 = 1 ∞ x m d x =

∫ ∑ m = 0 ∞ x m d x

Como m é apenas um nome de uma indexação, podemos chama-lo de n novamente:

∫ ∑ n = 0 ∞ x n d x = ∫ 1 1 - x d x

Integrando agora esse termo aí...

∫ 1 1 - x d x = - ln ⁡ 1 - x + C

Então veja que a série que estávamos buscando é igual essa integral:

∑ n = 1 ∞ x n n = - ln ⁡ 1 - x + C

Poxa, temos que tirar essa constante C feia aí, mas sabia que podemos fazer isso se soubermos um ponto da série? E a gente sabe um ponto! Quem? Sim! x = 0 ...

x = 0       →       ∑ n = 1 ∞ x n n = 0       →

Então...

- ln ⁡ 1 - 0 + C = 0       →

Como ln ⁡ 1 = 0 ...

C = 0

Logo o valor da série é:

∑ n = 1 ∞ x n n = - ln ⁡ 1 - x

Substituindo o x por 2 / 3 novamente...

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 3 n = - ln ⁡ 1 - 2 3 = - ln ⁡ 1 3 =

ln ⁡ 1 3 - 1 = ln ⁡ 3

Passo 2

Agora vamos procurar o valor dessa série aqui de forma análoga:

∑ n = 1 ∞ n 2 3 n

Ou seja, primeiro trocar o 2 / 3 por um x :

∑ n = 1 ∞ n x n

Poxa, essa série aí, parece ser o problema contrário da outra, neh? Essa daí parece ter surgido de uma derivada de x n . Mas a derivada de x n envolve x n - 1 . Então que tal trabalharmos com essa série um pouco previamente antes de aplicar a derivada e integral nela? Primeiro vamos fazer uma mudança de variável nela dessa forma aqui:

n = m - 1

∑ m - 1 = 1 ∞ m - 1 x m - 1 =

Repare que assim surgiu o m - 1 lá no expoente! Mas continuando, podemos multiplicar esse termo...

∑ m = 2 ∞ m x m - 1 - x m - 1 =

E agora separar em duas séries:

∑ m = 2 ∞ m x m - 1 - ∑ m = 2 ∞ x m - 1

Vamos resolver cada uma em passos isolados, ok? (Mas guarde essa igualdade a cima aí, heim)

Passo 3

Primeiro vamos ver essa última que parece ser mais tranquila:

∑ m = 2 ∞ x m - 1   →

Fazendo uma mudança nela para ela parecer com a série geométrica:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x

Pra isso, vamos fazer essa mudança aqui:

m - 1 = n         o u         m = n + 1

∑ m = 2 ∞ x m - 1 = ∑ n + 1 = 2 ∞ x n = ∑ n = 1 ∞ x n

Viu só? Realmente muito parecidas neh? Qual é o grande cuidado que se tem que ter aqui? Para não colocar essa série acima aí igual a 1 1 - x direto, afinal a série geométrica começa de 0 e não de 1 como queremos. Ora, mas se a gente desenvolver a série geométrica do lado esquerdo...

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x         →           x 0 + ∑ n = 1 ∞ x n = 1 1 - x     →

Quem é x 0 ? 1 :

∑ n = 1 ∞ x n = 1 1 - x - 1

1 1 - x - 1

Prontinho!

Passo 4

Agora vejamos essa outra série aqui:

∑ m = 2 ∞ m x m - 1     →

Finalmente aplicando-se a derivada e a integral simultaneamente para se cancelarem(dessa vez a integral pra dentro, pois a ideia é integrar esse termo que está pedindo pra ser integrado):

∑ m = 2 ∞ m x m - 1 = d d x ∫ ∑ m = 2 ∞ m x m - 1 d x = d d x ∑ m = 2 ∞ ∫ m x m - 1 d x =

Qual que é a integral disso? Resposta:

d d x ∑ m = 2 ∞ x m

Ora, esse termo se parece com a série geométrica também, mas começando de 2 . Como a série geométrica é...

∑ m = 0 ∞ x m = 1 1 - x       →

Desmembrando-a até o primeiro termo como fizemos no passo anterior...

1 + x 1 + ∑ m = 2 ∞ x m = 1 1 - x       →

Então...

d d x ∑ m = 2 ∞ x m = d d x 1 1 - x - 1 - x =

1 1 - x 2 - 1

Passo 5

Finalmente podemos voltar para a igualdade do passo 2 que falei pra você guarda-la:

∑ n = 1 ∞ n x n = ∑ m = 2 ∞ m x m - 1 - ∑ m = 2 ∞ x m - 1

Substituindo tudo que encontramos em cada um dos dois passos anteriores...

∑ n = 1 ∞ n x n = 1 1 - x 2 - 1 - 1 1 - x - 1

Agora basta voltar com o x = 2 / 3 e simplificar o resultado:

∑ n = 1 ∞ n 2 3 n = 1 1 - 2 3 2 - 1 - 1 1 - 2 3 - 1   →

∑ n = 1 ∞ n 2 3 n = 1 1 3 2 - 1 - 1 1 3 - 1   →

∑ n = 1 ∞ n 2 3 n = 1 1 9 - 1 - 3 - 1   →

∑ n = 1 ∞ n 2 3 n = 9 - 1 - 2 = 6

Resposta

Alternativa

d

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