Listas GMA de Cálculo IA da UFF - Lista 9

O raio de luz de um farol, que está situado a de uma praia reta, faz (rotações por minuto). Considere a altura do farol desprezível em relação a sua distância até a praia. Ache a velocidade da extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um ângulo de com a linha da praia.

Uma escada de está encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de , com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a da parede?

Um ponto move-se ao longo de uma elipse . A abscissa está variando a uma velocidade . Mostre que

a)

b)

Num determinado instante, um controlador de tráfego aéreo vê dois aviões na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajetórias ortogonais que se cruzam num ponto (veja figura). Neste instante, um dos aviões está a 150 milhas do ponto e se aproxima de à milhas por hora, enquanto o outro está a milhas do ponto e se movendo à milhas por hora, também em direção ao ponto .

a) Antes do ponto a distância entre os aviões esta diminuindo? A que taxa?

b) Os aviões correm risco de choque? Em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem para fazer com que um dos aviões mude a sua trajetória?

Enche-se de água um reservatório, cuja forma é de um cone circular reto (veja a figura), a uma taxa de . O vértice está a do topo e o raio do topo é de . Com que velocidade o nível da agua está subindo no instante em que ?

Uma câmara de televisão no nível do solo está filmando a subida de um ônibus espacial que está subindo verticalmente de acordo com a equação , sendo a altura e o tempo. A câmara está a do local de lançamento. Encontre a taxa de variação da distância entre a câmara e a base do ônibus espacial, 10 segundos após o lançamento (suponha que a câmara e a base do ônibus estão no mesmo nível no tempo ).

Cascalho está caindo e formando uma pilha cônica que aumenta a uma taxa de , de modo que o raio do cone é sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de variação da altura da pilha quando a altura é de .

Seja definida implicitamente pela equação . Encontre o coeficiente angular da reta normal ao gráfico da função no ponto .

Considere definida implicitamente por . Calcule , sabendo que para todo pertencente aos reais.

Determine a expressão de pelo menos duas funções definidas implicitamente pela equação . Explicite seus domínios.