Passo 1

  1. Sabemos que a equação da reta tangente é dada por:

y - f x 0 = m ( x - x 0 )

Onde m é o coeficiente angular, dado pela derivada da função. Então, vamos encontrar m derivando implicitamente a equação 2 - x y 2 = x ³ .

- 1 y 2 + 2 - x 2 y . y ' = 3 x ²

2 - x 2 y . y ' = 3 x 2 + y ²

y ' = m = 3 x 2 + y ² 2 - x 2 y

No ponto ( 1,1 ) o coeficiente angular é:

3 . 1 2 + 1 ² 2 - 1 2 . 1 = 4 2 = 2

Passo 2

Agora podemos determinar a equação da reta tangente no ponto 1,1 .

y - f 1 = 2 ( x - 1 )

O valor de f ( 1 ) é:

2 - 1 y 2 = 1 ³

y 2 = 1 1

y = 1

Então

y - 1 = 2 x - 2

y = 2 x - 1

Passo 3

Quando x = 3 2 temos que f 3 2 é

2 - 3 2 y 2 = 3 2 3

y 2 = 27 8 1 2

y 2 = 27 4

f 3 2 = y = ± 3 3 2

E os valores de m são

3 3 2 2 + 3 3 2 2 2 - 3 2 2 3 3 2 = 54 4 3 3 2 = 9 3 = 3 3

e

3 3 2 2 + - 3 3 2 2 2 - 3 2 2 - 3 3 2 = 54 4 - 3 3 2 = - 9 3 = - 3 3

Então, as retas tangentes são:

y 1 - 3 3 2 = 3 3 x - 3 2

y 1 - 3 3 2 = 3 3 x - 3 2

y 1 = 3 3 x - 3 3

E

y 2 + 3 3 2 = - 3 3 x - 3 2

y 2 = - 3 3 x + 3 3

Resposta

a) y = 2 x - 1

b) y 1 = 3 3 x - 3 3 e y 2 = - 3 3 x + 3 3

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