Um ponto move-se ao longo de uma elipse x 2 + 4 y 2 = 1 . A abscissa x está variando a uma velocidade d x d t = sen ⁡ 4 t . Mostre que

a) d y d t = - x sen ⁡ 4 t 4 y

b) d 2 y d t 2 = - x ² sen ² ⁡ 4 t + 16 x y 2 cos ⁡ 4 t 16 y ³

Passo 1

a) Vamos derivar implicitamente a equação da elipse em relação ao tempo.

2 x d x d t + 8 y d y d t = 0

8 y d y d t = - 2 x d x d t

d y d t = - 2 x 8 y . d x d t

d y d t = - x 4 y . d x d t

Como d x d t = sen ⁡ 4 t , então

d y d t = - x sen ⁡ 4 t 4 y

Passo 2

Agora vamos derivar d y d t para obter d ² y d t ² .

d ² y d t ² = - x sen ⁡ 4 t ' 4 y - ( 4 y ) ' ( - x sen ⁡ 4 t ) ( 4 y ) ²

d ² y d t ² = ( - 4 x cos ⁡ 4 t ) 4 y - 4 - x sen ⁡ 4 t 4 y ( - x sen ⁡ 4 t ) 16 y ²

d ² y d t ² = - 16 x y cos ⁡ 4 t + x sen ⁡ 4 t y ( - x sen ⁡ 4 t ) 16 y ²

d ² y d t ² = - 16 x y cos ⁡ 4 t - x ² sen ² ⁡ 4 t y 16 y ²

d ² y d t ² = - 16 x y ² cos ⁡ 4 t - x ² sen ² ⁡ 4 t y 16 y ²

d ² y d t ² = - x ² sen ² ⁡ 4 t + 16 x y ² cos ⁡ 4 t 16 y ³

Resposta

a )   D e m o n s t r a d o

b )   D e m o n s t r a d o

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