Taxas relacionadas
O raio de luz de um farol, que está situado a de uma praia reta, faz (rotações por minuto). Considere a altura do farol desprezível em relação a sua distância até a praia. Ache a velocidade da extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um ângulo de com a linha da praia.
Passo 1
A primeira coisa é entender quais são as grandezas que estamos relacionando.
Vamos fazer um desenho com o farol e a praia para vermos o que está acontecendo.
Vamos chamar de o comprimento do raio de luz, e de a distância ao longo da praia que ele percorreu em relação àquela linha tracejada. Vai ficar assim
Aquele é o ângulo entre o raio de luz e a linha tracejada, não é o ângulo com a praia, eu fiz isso porque a conta fica mais simples assim a velocidade que ele da é desse ângulo e não do da praia, só lembrar que
Isso nos dá duas relações
Passo 2
Tendo essas relações vamos derivar isso tudo em relação ao tempo
Temos as duas relações mas quais dessas taxas de variação nos queremos? Lembra que ele quer a velocidade do raio de luz ao longo da praia? Então ele quer .
Precisamos ver agora se temos todos os valores para substituir ali.
Primeiro ele deu a velocidade angular
Ele também deu o ângulo
Como ele quer vamos isolar na primeira equação, porque na primeira? A segunda tem a relação com e temos
Falta acharmos e e aí é só correr para o abraço.
Passo 3
Como o ângulo é esse triangulo é isósceles, dessa forma
E podemos fazer
Passo 4
Vamos substituir todos os valores