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Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Proporção

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Exercício 21345678910111213141516171819

Enunciado

Um grande banco deseja inferir sobre a proporção de clientes que estão satisfeitos com seu serviço. Para isto, entrevistou 25 clientes e obteve os resultados mostrados na seguinte lista:

SSISSISSSSSIISSSSSSISSSSS

em que S representa “cliente satisfeito” e I representa “cliente insatisfeito”.

  1. Construa um intervalo de confiança não conservativo ao nível de 96% para a proporção de clientes satisfeitos. O intervalo obtido contém a proporção de clientes satisfeitos?
  2. Qual deve ser o tamanho da amostra para que a amplitude do intervalo de confiança conservativo, ao nível de confiança de 98%, seja menor ou igual a 0,04?

Passo 1

(a)

Partiu construir um intervalo não-conservativo pra proporção. A gente sabe que a fórmula é a seguinte...

I C = p ^ - z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n   ;   p ^ + z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n

Pra isso então a gente precisa calcular algumas paradas.

Podemos calcular primeiro a proporção amostral dos clientes satisfeitos.

p ^ = 20 25 = 0,8

Passo 2

Ele diz que a confiança é de 96%, a gente sabe que isso quer dizer que:

1 - α = 0,96 → α - 0,04

z 0,98 = 2,05

Fiz isso procurando na tabela da Normal, dá uma olhada aí.

Passo 3

Agora é só jogar no intervalo e calcular...

I C = 0,8 - 2,05 × 0,8 × 0,2 25   ;   0,8 + 2,05 × 0,8 × 0,2 25

I C = ( 0,636   ; 0,964 )

O intervalo contem a proporção de 0,8 de clientes satisfeitos.

Passo 4

(b)

Primeiro vamos entender o que seria amplitude.

Amplitude seria a diferença entre os extremos do intervalo, correto?

Repara que se você fizer essa conta se vai descobrir que a amplitude é igual a duas vezes o valor de d .

Para um intervalo conservativo a gente sabe que é:

I C = p ^ - z 1 - α 2 . 1 4 n   ;   p ^ + z 1 - α 2 . 1 4 n

Ou seja,

d = z 1 - α 2 . 1 4 n

Passo 5

A gente tem que calcular n , sabendo que 2 d < 0,04 .

Primeiro vamos ver esse z aí.

1 - α = 0,98 → α = 0,02

z 0,99 = 2,33

Substituindo em 2 d < 0,04 .

2 × 2,33 × 1 2 n < 0,04

2,33 n < 0,04

n > 2,33 0,04 2

n = 3394

Resposta

a   I C = ( 0,636   ; 0,964 )

b   n = 3394

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