[Questão 13]
A figura ao lado mostra um foguete de massa que descreve uma órbita elíptica em torno da Terra, onde é a distância da Terra em relação ao centro da elipse e é o semi-eixo maior da elipse. A massa da Terra é . A única força que atua sobre o foguete é a atração gravitacional do planeta. No ponto A, o foguete tem velocidade de módulo . Com base nessas informações, responda as questões 11, 12 e 13.
Ainda sobre a situação ilustrada na figura 1, marque a alternativa correta.
(A) A energia potencial gravitacional do foguete no ponto A é maior do que a energia potencial gravitacional do foguete no ponto B.
(B) A energia cinética do foguete no ponto A é maior do que a energia cinética do foguete no ponto B.
(C) A energia mecânica do foguete no ponto A é menor do que a energia mecânica do foguete no ponto B.
(D)O foguete precisa manter seus propulsores constantemente acionados para permanecer em uma órbita elíptica.
(E) O tempo que o foguete demora para viajar do ponto A ao ponto C é igual ao tempo que ele demora para ir do ponto C ao ponto B.
Passo 1
A energia potencial gravitacional é dada por:
Quanto menor a distância , maior em módulo é a fração , porém com o sinal de negativo alí na frente, essa energia fica cada vez mais negativa quando se aproxima da Terra.
Ou seja, quanto mais próximo da Terra o foguete estiver, menor será sua energia potencial gravitacional .
Então, a energia potencial no ponto B será menor que no ponto A, já que esse ponto está mais próximo da Terra.
Então, a alternativa (A) está correta.
Vamos ver o porque das outras estarem erradas...
Passo 2
(B) A energia cinética do foguete no ponto A é maior do que a energia cinética do foguete no ponto B.
(C) A energia mecânica do foguete no ponto A é menor do que a energia mecânica do foguete no ponto B.
Vamos atacar as duas junto.
Como a única força que atua sobre o foguete é uma força conservativa (força peso), essa força não retira energia do sistema, apenas converte energia potencial gravitacional em energia cinética e vice-versa.
Portanto, a alternativa (C) está incorreta, pois a energia mecânica se conserva.
Visto que a energia mecânica é a soma de:
No ponto A, como a energia potencial é maior que em B, a energia cinética restante em A deve ser menor que em B.
Então, a alternativa (B) também está incorreta.
Passo 3
(D)O foguete precisa manter seus propulsores constantemente acionados para permanecer em uma órbita elíptica.
Isso está incorreto, pois a força gravitacional é capaz de manter o foguete em órbita sem nenhuma outra força externa atuando sobre ele.
Passo 4
(E) O tempo que o foguete demora para viajar do ponto A ao ponto C é igual ao tempo que ele demora para ir do ponto C ao ponto B.
Existe uma lei de Kepler que diz que um corpo em órbita elíptica demora um mesmo intervalo de tempo para percorrer um arco que forma uma área :
Como a área do arco AC é maior que a área do arco CB, o tempo também será maior.
Podemos pensar também que os comprimentos das duas trajetórias são os mesmos, porém o foguete percorre esse caminho com uma velocidade cada vez maior quando se aproxima da Terra.
Então, como o foguete percorre o trecho CB com uma velocidade maior que no trecho AC, o tempo para andar BC será menor.
Resposta
Letra (A)