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Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções

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Exercício 12123456789101113141516171819

Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – 2020.2 – P1 – M. Escolha

3 . Considere a equação de segunda ordem não-homogênea

y ' ' + 6 y ' + 9 y = 2 x + x 5 e - 3 x

Pelo método dos coeficientes indeterminados, existe uma solução da equação da forma y x = p x e - 3 x onde p ( x ) é um polinômio. O grau de p ( x ) é

Escolha uma:

a .   6

b .   3

c .   4

d .   7

e .   5 .

Passo 1

Esse exercício quer que a gente encontre o grau do polinômio da equação particular, para isso precisamos fazer alguns chutes.

Contudo, temos que ficar bem ligados nos chutes que vamos dar então primeiro vamos achar a solução homogênea.

Então, vem comigo!

Passo 2

Achando a solução homogênea pois ela é fundamental para os nossos chutes na solução particular.

y ' ' + 6 y ' + 9 y = 0

Usando a equação característica descobriremos que:

y h = c 1 e - 3 x + c 2 x e - 3 x

Passo 3

Mas por que ela é importante para gente saber a solução particular? Bom, a nossa EDO é:

y ' ' + 6 y ' + 9 y = 2 x + x 5 e - 3 x ⇒ y ' ' + 6 y ' + 9 y = 2 + x 4 x e - 3 x

O correto seria se a solução particular fosse:

y p = ( A x 5 + B x 4 + C x 3 + D x 2 + E x + F ) G e - 3 x

Contudo podemos ver que o termo G e - 3 x (G uma constante qualquer) é termo de y h então precisamos colocar um x no nosso chute:

y p = ( A x 5 + B x 4 + C x 3 + D x 2 + E x + F ) G x e - 3 x

Opa opa o termo G x e - x (G uma constante qualquer) também é termo de y h então precisamos colocar mais um x no nosso chute:

y p = ( A x 5 + B x 4 + C x 3 + D x 2 + E x + F ) G x ² e - 3 x

Agora sim está certinho e nossa equação particular terá a carinha:

y p = ( A x 7 + B x 6 + C x 5 + D x 4 + E x ³ + F x ² ) G e - 3 x

Ou seja, o polinômio tem grau 7 .

Resposta

d .   7

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