Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções
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Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem não-homogênea com coeficientes constantes:
Dica: Transforme a equação para , como na 1ª questão.
Passo 1
Amigx, se o cara tá te dando uma dica, não a ignore! Provavelmente, ela será útil demais. Sendo assim, usando a dica, vamos transformar essa EDO esquisita numa equação de , sabendo que .
Calculando as derivadas
Substituindo na EDO:
Arrumando esse monstrinho:
Passo 2
O que a gente precisa agora é resolver a EDO homogênea associada e depois encontrar a particular.
Resolvendo o polinômio característico:
Temos que , e portanto
Passo 3
Bora tentar encontrar uma solução particular pra EDO
STOP! Precisamos ver se a solução particular já está contida na solução homogênea! E ela está :(
Não se preocupe, a gente só precisa multiplicar essa particular por até que ela fique diferente da homogênea. Então
Beleza, ela já tá diferente!
Passo 4
Assumindo que é solução, temos que calcular suas derivadas e substituir na EDO.
Pronto. Agora substituindo na EDO:
Arrumando...
Então e .
Passo 5
Se a gente sabe , a gente sabe também , por conta da relação entre eles:
Então
Passo 6
Finalmente, podemos encontrar a solução geral: