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Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções

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Enunciado

Tarefa 1, Grau G2 - MAT 1154 Cálculo IV – PUCRIO – Questão 1

Resolva os seguintes problemas de valor inicial:

1.

4 y ' ' + 5 y ' - y = e 3 t sen ⁡ 3 t y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

2.

4 y ' ' + 5 y ' - y = t 2 e 2 t y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

3.

4 y ' ' + 5 y ' - y = e 3 t sen ⁡ 3 t + t 2 e 2 t y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Vamos começar!

Ora! A solução de uma EDO não homogênea e coeficientes constantes pode ser feita fazendo primeiro a solução da homogênea ( y h ) e depois a solução particular. A solução geral será a soma das duas.

y = y p + y h

E todas as EDOs têm termos parecidos! O PVI é o mesmo para os três sistemas e o lado esquerdo da EDO também é igual.

Passo 2

Isso significa que os três sistemas tem a mesma solução homogênea.

A solução da parte homogênea é feita considerando 0 do outro lado da EDO.

4 y ' ' + 5 y ' - y = 0

Com base nos conceitos de equação característica, temos que...

4 r 2 + 5 r - 1 = 0

E as raízes dessa equação acima são...

r 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r 1,2 = - 5 ± 5 2 - 4 ⋅ 4 ⋅ 1 2 ⋅ 4

r 1,2 = - 5 ± 9 8 = - 5 ± 3 8

r 1 = - 1 4   e   r 2 = - 1

Então, como temos duas raízes reais e diferentes entre si, a solução da EDO homogênea segue esse modelo aqui...

y h = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

Substituindo r 1 e r 2 :

y h = c 1 e - t 4 + c 2 e - t

Passo 3

Beleza! Agora, vamos buscar uma solução particular. Para o primeiro sistema, temos que...

4 y ' ' + 5 y ' - y = e 3 t sen ⁡ 3 t

Como a função que torna essa equação não homogênea é e 3 t sen ⁡ 3 t . Então, a solução particular vai ter essa cara aqui...

y p 1 t = e 3 t A sen ⁡ 3 t + B cos ⁡ 3 t

Derivando uma e duas vezes...

y p 1 ' t = 3 e 3 t ( A sen ⁡ 3 t + B cos ⁡ 3 t + A cos ⁡ 3 t - B sen ⁡ 3 t )

y p 1 ' ' t = 18 e 3 t A cos ⁡ 3 t - B sen ⁡ 3 t

Com essas derivadas, vamos substituir na EDO...

4 y ' ' + 5 y ' - y = e 3 t sen ⁡ 3 t

4 [ 18 e 3 t A cos ⁡ 3 t - B sen ⁡ 3 t ] + 5 [ 3 e 3 t ( A sen ⁡ 3 t + B cos ⁡ 3 t + A cos ⁡ 3 t - B sen ⁡ 3 t ) ] - e 3 t A sen ⁡ 3 t + B cos ⁡ 3 t = e 3 t sen ⁡ 3 t

72 [ A cos ⁡ 3 t - B sen ⁡ 3 t ] + 15 [ ( A sen ⁡ 3 t + B cos ⁡ 3 t + A cos ⁡ 3 t - B sen ⁡ 3 t ) ] - e 3 t A sen ⁡ 3 t + B cos ⁡ 3 t = e 3 t sen ⁡ 3 t

E então, obtemos que...

- 72 B + 15 A - 15 B - A sen ⁡ 3 t = sen ⁡ 3 t

72 A + 15 B + 15 A - B cos ⁡ 3 t = 0

Chegando ao seguinte sistema...

14 A - 87 B = 1 87 A + 14 B = 0

Cujas soluções são...

A = 14 7765

B = - 87 7765

E então, a solução particular será dada por...

y p 1 t = e 3 t 14 7765 sen ⁡ 3 t - 87 7765 cos ⁡ 3 t

Não vamos calcular o P V I agora, hein! Bora deixar pro final!

Passo 4

Em seguida, vamos analisar o segundo sistema!

Como já sabemos a solução homogênea, bora direto pra particular!

4 y ' ' + 5 y ' - y = t 2 e 2 t

Nesse caso, como a função que torna essa equação não homogênea é t 2 e 2 t . Então, a solução particular vai ter essa cara aqui...

y p 2 t = e 2 t ( A t 2 + B t + C )

Calculando a primeira e segunda derivadas...

y p 2 ' t = 2 e 2 t A t 2 + B t + C + e 2 t ( 2 A t + B )

y p 2 ' t = e 2 t 2 A t 2 + 2 A t + 2 B t + B + 2 C

y p 2 ' ' t = 4 e 2 t t 2 A + 8 A + 4 B e 2 t t + 2 A + 4 B + 4 C e 2 t

E depois, substituindo...

4 y ' ' + 5 y ' - y = t 2 e 2 t

4 [ 4 e 2 t t 2 A + 8 A + 4 B e 2 t t + 2 A + 4 B + 4 C e 2 t ] + 5 e 2 t 2 A t 2 + 2 A t + 2 B t + B + 2 C - e 2 t ( A t 2 + B t + C ) = t 2 e 2 t

4 [ 4 t 2 A + 8 A + 4 B t + 2 A + 4 B + 4 C ] + 5 2 A t 2 + 2 A t + 2 B t + B + 2 C - ( A t 2 + B t + C ) = t 2

Obtemos o seguinte sistema...

25 A = 1 42 A + 25 B = 0 2 A + 9 B + 13 C = 0

Cujas soluções são...

A = 1 25

B = - 42 675

C = 328 8125

Dessa forma, temos que...

y p 2 t = e 2 t ( A t 2 + B t + C )

y p 2 t = e 2 t t 2 25 - 42 675 t + 328 8125

Passo 5

E no caso do terceiro sistema, como a função que torna essa equação não homogênea é t 2 e 2 t + e 3 t sen ⁡ 3 t , então, a solução particular será dada pela soma das duas soluções que obtivemos anteriormente...

y p 3 t = y p 2 t + y p 1 t

y p 3 t = e 3 t 14 7765 sen ⁡ 3 t - 87 7765 cos ⁡ 3 t + e 2 t t 2 25 - 42 675 t + 328 8125

Passo 6

Agora, é a hora de resolver os PVIs.

Bem! Pro primeiro sistema, a solução geral é...

y 1 = y p 1 + y h

y 1 = c 1 e - t 4 + c 2 e - t + e 3 t 14 7765 sen ⁡ 3 t - 87 7765 cos ⁡ 3 t

Se liga! A gente tem que y 0 = 1 . Logo;

y 1 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 + e 0 14 7765 sen ⁡ 0 - 87 7765 cos ⁡ 0 = 1

c 1 + c 2 - 87 7765 = 1

c 1 + c 2 = 7852 7765

E também que y ' 0 = 0 . Logo;

y 1 ' = - 1 4 c 1 e - t 4 - c 2 e - t + e 3 t 303 7765 sen ⁡ 3 t - 219 7765 cos ⁡ 3 t

y 1 ' 0 = - 1 4 c 1 e 0 - c 2 e 0 + e 0 303 7765 sen ⁡ 0 - 219 7765 cos ⁡ 0 = 0

- 1 4 c 1 - c 2 - 219 7765 = 0

- c 1 - 4 c 2 = 876 7765

Chegamos ao seguinte sistema...

c 1 + c 2 = 7852 7765 - c 1 - 4 c 2 = 876 7765

Resolvendo ele...

- 3 c 2 = 8728 7765

c 2 = - 8728 23295

c 1 - 8728 23295 = 7852 7765

c 1 = 32284 23295

Obtemos que a solução do primeiro sistema é...

y 1 = 32284 23295 e - t 4 + - 8728 23295 e - t + e 3 t 14 7765 sen ⁡ 3 t - 87 7765 cos ⁡ 3 t

Passo 7

Bora analisar o segundo PVI!

Nossa solução geral é...

y 2 = y p 2 + y h

y 2 = c 1 e - t 4 + c 2 e - t + e 2 t t 2 25 - 42 t 675 + 328 8125

A gente tem que y 0 = 1 ...

y 2 ( 0 ) = c 1 e 0 + c 2 e 0 + e 0 0 25 - 42 ⋅ 0 675 + 328 8125 = 1

c 1 + c 2 + 328 8125 = 1

c 1 + c 2 = 7797 8125

E que y ' 0 = 0 ...

y 2 ' = - 1 4 c 1 e - t 4 - c 2 e - t + e 2 t 5850 t 2 - 3250 t + 1354 73125

y 2 ' 0 = - 1 4 c 1 e 0 - c 2 e 0 + e 0 5850 ⋅ 0 2 - 3250 ⋅ 0 + 1354 73125 = 0

- 1 4 c 1 e 0 - c 2 e 0 + 1354 73125 = 0

- 1 4 c 1 - c 2 + 1354 73125 = 0

- c 1 - 4 c 2 = - 5416 73125

Resolvendo o sistema...

c 1 + c 2 = 7797 8125 - c 1 - 4 c 2 = - 5416 73125

Obtemos que...

c 2 = - 64757 219375

c 1 = 275276 219375

E então, a solução geral vai ser...

y 2 = 275276 219375 e - t 4 - 64757 219375 e - t + e 2 t t 2 25 - 42 t 675 + 328 8125

Passo 8

Pra finalizar, bora pro terceiro sistema...

Nesse caso, a solução geral vai ser dada por...

y 3 = y p 3 t + y h

y 3 = c 1 e - t 4 + c 2 e - t + e 3 t 14 7765 sen ⁡ 3 t - 87 7765 cos ⁡ 3 t + e 2 t t 2 25 - 42 675 t + 328 8125

Como y 0 = 1 ...

y p 3 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 + e 0 14 7765 sen ⁡ 0 - 87 7765 cos ⁡ 0 + e 0 0 2 25 - 0 675 + 328 8125 = 1

c 1 + c 2 - 87 7765 + 328 8125 = 1

c 1 + c 2 = 12250116 12250116

E uma vez que y ' 0 = 0 ...

y p 3 ' 0 = - 1 4 c 1 e 0 - c 2 e 0 + e 0 1354 73125 + e 0 303 7765 sen ⁡ 0 - 219 7765 cos ⁡ 0 = 0

- 1 4 c 1 - c 2 + 1354 73125 - 219 7765 = 0

- c 1 - 4 c 2 = 4400452 113563125

Chegamos assim, ao sistema abaixo...

c 1 + c 2 = 12250116 12250116 - c 1 - 4 c 2 = 4400452 113563125

Resolvendo ele, obtemos que...

c 1 = 458652952 340689375

c 2 = - 117963577 340689375

E fica assim, a solução do terceiro sistema...

y 3 = 458652952 340689375 e - t 4 + - 117963577 340689375 e - t + e 3 t 14 7765 sen ⁡ 3 t - 87 7765 cos ⁡ 3 t + e 2 t t 2 25 - 42 675 t + 328 8125

Resposta

Primeiro sistema:

y 1 = 32284 23295 e - t 4 + - 8728 23295 e - t + e 3 t 14 7765 sen ⁡ 3 t - 87 7765 cos ⁡ 3 t

Segundo sistema:

y 2 = 275276 219375 e - t 4 - 64757 219375 e - t + e 2 t t 2 25 - 42 t 675 + 328 8125

Terceiro sistema:

y 3 = 458652952 340689375 e - t 4 + - 117963577 340689375 e - t + e 3 t 14 7765 sen ⁡ 3 t - 87 7765 cos ⁡ 3 t + e 2 t t 2 25 - 42 675 t + 328 8125

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