Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções
Ver TeoriaEnunciado
EDO de 2ª Ordem não Homogênea
A EDO possui uma solução geral da forma:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
A equação é não homogênea, então a solução geral é
onde é a solução homogênea e é a solução particular.
Vamos começar achando a solução homogênea ! A equação homogênea é a mesma mas com 0 do lado direito:
A equação já está na forma
com e . Vamos calcular o discriminante!
Show! A equação auxiliar é
Não precisamos do discriminante pra achar as raízes, mas precisamos do sinal dele pra saber qual é a forma da solução da equação. Como , vamos ter:
Passo 2
Excelente, agora vamos achar a solução particular! Na verdade, felizmente, não vamos ter que fazer quase nada! Pois é, basta olhar as opções: todas elas envolvem número desconhecidos e . Ou seja, só temos que achar qual vai ser a forma da solução, sem tem que fazer todas as contas chatas!
Vamos dar uma olhada na função do lado direito da EDO:
Temos a soma de duas funções, então vamos achar qual seria a solução pra cada uma delas separada e depois a gente soma os resultados, beleza?
Passo 3
A primeira função é , um polinômio de grau 1 multiplicando uma exponencial. Então o nosso primeiro reflexo é tentar algo do tipo
Essa não é solução da homogênea (não há nenhum termo ou na solução homogênea), então esse é o “chute” certo!
Passo 4
A outra função é . Não tem mistério né? Vamos fazer a soma de um cosseno e de um seno:
A solução homogênea não tem função trigonométrica nenhuma então assim tá ótimo!
Passo 5
Juntando as duas soluções particulares que a gente achou:
Agora juntando com a solução da homogênea, obtemos a solução geral:
Resposta
Alternativa (a)