Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções
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EDO de 2ª ordem não Homogênea
Resolva o problema de contorno:
Passo 1
A equação é não homogênea, então a solução geral é
onde é a solução homogênea e é a solução particular.
Vamos começar achando a solução homogênea ! A equação homogênea é a mesma mas com 0 do lado direito:
Repare que a equação já está na forma
com , , .
O discriminante vai ser:
Como as raízes da equação auxiliar serão da forma
Passo 2
Então vamos encontrar essas raízes! A equação auxiliar é
Comparando
temos
Então a solução homogênea da equação é:
Passo 3
Agora que o bicho pega, vamos achar a solução particular! Lembrando que a equação é:
Temos que determinar qual vai ser o nosso “chute” pra . Vamos começar identificando a função do lado direito da equação.
Temos uma função exponencial multiplicando uma trigonométrica, então nossa solução particular também vai ser algo do tipo!
Como a função não é solução da equação homogênea, podemos tentar algo do tipo
Passo 4
Show! Vamos derivar a função, usando as regra do produto e da cadeia:
Passo 5
Agora é arregaçar as mangas e calcular essa derivada segunda:
Ufa! Demorou mas foi!
Passo 6
Agora vamos substituir , e na EDO:
O que dá esse troço bizarro aí:
A primeira coisa que podemos fazer é cortar dos 2 lados:
Melhorou um pouco né? Agora vamos juntar todos os senos e cossenos:
Passo 7
Excelente! Repare que do lado direito temos
Ou seja, vamos cair num sistema:
Podemos multiplicar a primeira equação por 2 e somá-la com a segunda:
E pela segunda equação, temos
Passo 8
Então solução particular é:
Lembrando que achamos a solução homogênea
Logo, a solução geral da equação vai ser
Passo 9
Ótimo, estamos quase acabando, só falta determinar e ! É agora que entram as condições de contorno:
Vamos calcular :
Ou seja:
Passo 10
Agora partiu :
E como :
Passo 11
Finalmente conseguimos! A solução geral da equação é, portanto: