Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções
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EDO de 2ª Ordem não Homogênea
Determine a solução geral da equação
Passo 1
A equação é não homogênea, então a solução geral é
onde é a solução homogênea e é a solução particular.
Vamos começar achando a solução homogênea ! A equação homogênea é a mesma mas com 0 do lado direito:
Repare que a equação já está na forma
com , , .
O discriminante vai ser:
A equação auxiliar é:
, então a solução da equação homogênea é
Passo 2
Agora que o bicho pega, vamos achar a solução particular! A equação é
Precisamos escolher o nosso “chute” pra . Vamos começar identificando a função do lado direito da equação.
Temos uma soma de funções exponenciais, mas uma tem o termo e a outra . Então vai ser melhor a gente separar a equação em 2 outras EDOs e achar separadamente as 2 soluções particulares, olha:
Depois pra achar a solução particular da EDO geral basta fazer
Beleza? Então partiu!
Passo 3
Começando pela primeira equação:
Vamos achar a solução particular dela! A função do lado direito é o produto de uma função polinomial de grau 2 com uma exponencial, então podemos tentar algo do tipo
E essa opção não é solução da equação homogênea, pois na não tem nenhum termo , apenas , então esse chute tá ótimo!
Agora vamos ter que derivar esse treco! Usando a regra do produto:
Show! Também precisamos da derivada segunda:
Passo 4
Substituindo o que achamos na EDO:
Tá estranho mas vamos cortar dos 2 lados que já vai dar uma melhorada:
Agora vamos juntar todos os termos em , e os que não envolvem :
Passo 5
Comparando os 2 lados da equação, caímos num sistema:
Pela segunda equação:
E como :
Achamos com a 3ª equação:
Show! Então a solução particular da 1ª equação é
Passo 6
Maas ainda tem a outra equação! Que é
A função do lado direito é bem simples, e o nosso chute pra solução particular vai ser algo do tipo
Mas atenção! Esse chute não é válido porque essa é solução da equação homogênea! Lembrando que é
Temos o termo na soluçaõ da homogênea, então temos que multiplicar o que tentamos por :
Opa! De novo não vai dar certo porque na tem um ! Vamos multiplicar outra vez por :
Agora sim! Tudo certo, não tem nenhum termo na solução da homogênea, então podemos continuar!
Passo 7
Usando a regra do produto, a derivada vai ser:
E pra derivada segunda:
Passo 8
Excelente! Vamos substituir na EDO:
Uma boa pode ser cortar dos 2 lados, então vamos dar uma ajeitada melhor:
Agora sim! Vamos fazer isso:
Vamos cortar um monte de coisa aí:
Ou seja, a solução particular da segunda equação é:
Passo 9
Ótimo, então a solução particular da EDO geral da questão é
Juntando com a solução da homogênea, obtemos a solução geral (finalmente!):