Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções
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Determine a solução geral da equação
Passo 1
Ok, temos uma EDO de segunda ordem não homogênea aqui. Assim, nossa solução será a soma da parte homogênea com a particular:
Vamos começar então com a parte homogênea que é dada pela equação
Beleza, a partir dela, tiramos a equação característica
Por Bhaskara, teremos
Como , teremos duas raízes distintas e complexas na forma
E a solução terá exponencial, senos e cossenos:
Sendo e constantes gerais. Beleza. Calculando nosso , vamos ter
Assim, nossa solução homogênea será
Passo 2
Agora vamos olhar para a solução particular. Nossa EDO está igualada a
Temos duas situações distintas aqui. Uma é a parte com o polinômio solto e a outra é com o produto . Assim, vamos considerar duas funções e para facilitar, sendo
associado ao polinômio. E também
Associada a parte restante.
Para determinar as constantes, vamos substituir cada uma na EDO. Vamos começar com . Derivando temos:
Portanto:
Agora distribuímos e juntamos os termos de mesmo grau, ficando
Comparando os coeficientes chegamos no sistema
Ou seja, teremos
Ficando a solução
Passo 3
Agora, vamos para a solução . Novamente vamos derivar para poder substituir na EDO. Usando a regra do produto:
Agora vamos substituir isso na nossa EDO e comparar:
Novamente distribuímos:
Tá grande, mas vamos no talento. Juntando agora os senos e cossenos para poder comparar:
Chegando ao sistema:
Da primeira equação, temos
Assim:
Assim, nossa segunda solução particular será
Passo 4
Agora basta juntarmos o que calculamos. Para a solução particular, temos:
Assim, a solução final vai ser:
Ficou bem extenso, mas é nosso! S2.