Exercícios Resolvidos de Polias Móveis

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Enunciado

Uma caixa de 12,00   K g em repouso sobre uma superfície horizontal e livre de atrito está atada a um peso de 5,0   K g por um cabo delgado e leve que passa sobre uma polia com atrito desprezível (Figura abaixo). A polia possui a forma de um disco maciço e uniforme com massa de 2,0   K g e diâmtro de 0,500   m . Após o sistema ser libertado, ache

a ) a tensão no cabo sobre ambos os lados da polia

Passo 1

Eaew, tudo certinho com vocês?

Temos um problema clássico de balanço de forças ligadas por uma corda inextensível ideal com a presença de uma polia. Normalmente, nos problemas mais básicos deste tipo, a polia não causa nenhuma influência, agora, no entanto, devido as dimensões dela serem importantes, o giro da polia irá influenciar na dinâmica do sistema como um todo! Vamos começar analisando o balanço de forças e ver como isso nos ajuda a encontrar o que a alternativa a ) nos pede! Bora lá!

Passo 2

Primeira coisa, vamos fazer o diagrama de forças deste sistema! Ele é da seguinte forma

Note que no corpo de massa m 1 = 12   K g , temos que apenas a força T 1 está atuando, portanto, pela segunda lei de newton, temos

m 1 a = T 1           ( 1 )

No corpo de massa m 2 = 5   K g , temos duas forças contrárias atuando, de forma que

m 2 a = P - T 2 = m 2 g - T 2           ( 2 )

Note que não coloquei um índice a 1 ou a 2 , isso é porquê o sistema se move como um só, portanto, a 1 = a 2 = a . Em um problema clássico, sem a influência da polia, teríamos que T 1 = T 2 , neste caso, não podemos dizer isso, temos que T 1 ≠ T 2 . E agora, temos então 3 variáveis para encontrar, portanto, precisamos de uma nova equação! E adivinha só! Tem tudo haver com a polia! Vem comigo!

Passo 3

Pela segunda lei de newton para a rotação, temos que

τ R = I α

O torque resultante ( τ R ) sofrido pela polia de momento inercia ( I ) gera uma aceleração angular ( α ) . Como as forças são constantes, essa aceleração também é constante, e podemos relacioná-la com a aceleração do sistema, como

a = α R

E, portanto, temos que

α = a R

Que torna a expressão para o torque a seguinte

τ R = I a R

Ainda precisamos relacionar isso com as nossas tensões! Mas saca só!

Passo 4

O torque realizado sobre a polia é causado pelas forças de tensão indicadas no diagrama de força, aplicadas à uma distância R do eixo de giro da polia! Portanto, temos que

τ R = ( T 2 - T 1 ) R

Ou seja, substituindo na nossa expressão para o torque resultante, temos que

T 2 - T 1 R = I a R

Ou, isolando as tensões, temos que

T 2 - T 1 = I a R 2           ( 3 )

Temos agora três equações, e três incógnitas! Isso já está praticamente resolvido! Bora lá!

Passo 5

Por simplicidade vou somar a equação (1) e (2), obtendo o seguinte

m 1 a + m 2 a = T 1 + m 2 g - T 2

Qual é a vantagem disso? Nós podemos isolar T 1 - T 2 , saca só! Temos que

m 1 a + m 2 a - m 2 g = T 1 - T 2

Que acabamos de obter com a nossa equação (3). Se usarmos então a equação (3) e colocarmos alguns termos em evidência, temos que

a m 1 + m 2 - m 2 g = - I a R 2           ( 4 )

Note que o sinal de menos aparece porquê na equação (3) temos T 2 - T 1 , e aqui precisamos de T 1 - T 2 ! Quase lá! Só precisamos lembrar quem é esse I , você lembra? Vamo que vamo!

Passo 6

Para um disco temos que o momento de inércia é dado por

I = 1 2 M R 2

Substituindo na equação (4) temos que

a m 1 + m 2 - m 2 g = - 1 2 M a

Se isolarmos a aceleração, temos que

a m 1 + m 2 + 1 2 M = m 2 g

E passando os parênteses dividindo, obtemos

a = m 2 g m 1 + m 2 + 1 2 M

Agora é só substituir valores! Faz aí rapidinho! E bora para o próximo passo verificar!

Passo 7

Colocando os valores temos

a = 5   K g 9 ,   8 m s 2 12   K g + 5 K g + 1 2 2   K g = 49 18 m / s 2

Colocando na calculadora, temos aproximadamente

a ≈ 2,72   m / s 2

Vamos utilizar isso para encontrar as nossas tensões!

Passo 8

Tendo a aceleração em mãos, podemos encontrar nossas tensões como

T 1 = m 1 a = ( 12   K g ) ( 2,72 m s 2 )

Ou calculando os valores

T 1 ≈ 32,6   N

E, utilizando a equação (3), temos que

T 2 - T 1 = 1 2 M a

De onde podemos isolar T 2 como

T 2 = 1 2 M a + T 1

Substituindo os valores

T 2 = 1 2 2   K g 2,72 + 32,6 N ≈ 35,3   N  

Aí está a resposta desta alternativa! Te vejo na próxima! Até já!

Resposta

T 1 ≈ 32,6   N e T 2 ≈ 35,3   N

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