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Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Discretas

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Exercício 41235678910111213141516171819

Enunciado

Lançam-se, simultaneamente, uma moeda e um dado.

a) Determine o espaço amostral correspondente a esse experimento.

b) Obtenha a tabela da distribuição conjunta, considerando X o número de caras no lançamento da moeda e Y o número da face do dado.

d) Calcule:

  1. P X = 1
  2. P X ≤ 1
  3. P X < 1
  4. P(X=2,Y=3)
  5. P ( X ≥ 0 , Y ≤ 4 )
  6. P ( X = 0 , Y ≥ 1 )

Passo 1

Queremos o espaço amostral ( Ω ) . Vamos olhar separadamente:

  • Moeda: Ω M = K , C
  • Dado: Ω D = { 1,2 , 3,4 , 5,6 }

Portanto o espaço amostral são as possibilidades de combinação desses dois outros conjuntos correto?

Ω = { K 1 , K 2 , K 3 , K 4 , K 5 , K 6 , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 }

Passo 2

Queremos montar a tabela agora considerando X o número de caras (K) no lançamento da moeda e Y o número da face do dado:

Analisando X:

Analisando Y:

Passo 3

Montando a tabela teremos:

Passo 4

d) Vamos calcular algumas probabilidades:

  1. P X = 1

    2. Como X é o número de caras no lançamento do dado, queremos a probabilidade de obter uma cara ou seja

    P X = 1 = 1 2

  2. P ( X ≤ 1 )

    3. Como X é o número de caras no lançamento do dado, queremos a probabilidade de dois casos: X = 0 → N ã o   s a i r   c a r a ,   s a i r   c o r o a ou X = 1 → S a i r   c a r a .Ou seja, estamos falando das duas possíveis ocorrências ao lançar uma moeda, portanto:

    P X ≤ 1 = 1

  3. P ( X < 1 )

    4. Como X é o número de caras no lançamento do dado, queremos a probabilidade de X < 1 ou seja de X = 0 → n ã o   s a i r   c a r a .

    P X < 1 = P X = 0 = 1 2

  4. P ( X = 2 , Y = 3 )

    5. Opa! Ele quer saber a probabilidade de X = 2 ! Mas isso não existe certo? Afinal lançamos a moeda apenas uma vez, não é possível obter duas caras!

    P X = 2 , Y = 3 = 0

  5. P ( X ≥ 0 , Y ≤ 4 )

    6. Primeira coisa que devemos olhar são quais eventos estão aí dentro:

    - P X ≥ 0 → P X = 0   e   P X = 1 → t o d a s   a s   p o s s i b i l i d a d e s

    - P Y ≤ 4 → P Y = 1 ,   P Y = 2 , P Y = 3   e   P ( Y = 4 )

    Então queremos

    P X = 0 , Y = 1 +   P X = 0 , Y = 2 + P X = 0 , Y = 3 +   P X = 0 , Y = 4 + P X = 1 , Y = 1 +   P X = 1 , Y = 2 + P X = 1 , Y = 3 +   P ( X = 1 , Y = 4 )

    Pela tabela é fácil localizar cada um desses termos, ex:

    P X = 0 , Y = 1 → 2 º   t e r m o   d a   2 ª   c o l u n a → 1 12

    Assim

    P X ≥ 0 , Y ≤ 4 = 8 × 1 12 = 2 3

  6. P ( X = 0 , Y ≥ 1 )

Agora vamos olhar apenas para os casos onde X = 0 e Y ≥ 1 .

Seguindo o mesmo raciocínio do item anterior teremos:

P X = 0 , Y ≥ 1 = P X = 0 , Y = 1 +   P X = 0 , Y = 2 + P X = 0 , Y = 3 +   P X = 0 , Y = 4 + P X = 0 , Y = 5 + P X = 0 , Y = 6 =

Pela tabela novamente localizamos esses termos, assim:

P X = 0 , Y ≥ 1 = 6 × 1 12 = 6 12 = 1 2

Resposta

a) Ω = { K 1 , K 2 , K 3 , K 4 , K 5 , K 6 , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 }

b)

d)

  1. 1 2
  2. 1
  3. 1 2
  4. 0
  5. 2 3
  6. 1 2

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