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Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Discretas

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Exercício 17123456789101112131415161819

Enunciado

P1-2017/1 UFRJ Questão 4

Todos os dias um técnico especializado em aparelhos de ar condicionado recebe chamados para atendimento domiciliar e, às vezes, ele leva consigo alguns auxiliares em todas as visitas do dia. Defina as variáveis aleatórias Y , número de atendimentos a fazer em um dia, e X, número de auxiliares que trabalham com ele naquele dia. A tabela a seguir apresenta a distribuição conjunta de X e Y .

a) As variáveis X e Y são independentes? Justifique a resposta.

b) Calcule a probabilidade de X = k dado que Y = 5, para cada valor possível de X.

c) Calcule E X Y , ou seja, o número médio de auxiliares por atendimento.

Passo 1

a) As variáveis X e Y são independentes? Justifique a resposta.

Vamos ver se a função de probabilidade conjunta de X e Y fatora nas funções de probabilidade marginais.

Vamos escolher para análise P X = 0 , Y = 3 = 0,23 .

Pegando individualmente P ( X = 0 ) e P ( Y = 3 ) temos que:

P X = 0 = 0,36

P Y = 3 = 0,41

Fazendo P X = 0 ∙ P Y = 3 = 0,1476 ≠ 0,23 .

Logo, não são independentes!

Passo 2

b) Calcule a probabilidade de X = k dado que Y = 5, para cada valor possível de X.

Aqui ele quer basicamente a seguinte condicional:

P X = k Y = 5 = P ( X = k , Y = 5 ) P ( Y = 5 ) = P ( X = k , Y = 5 ) 0,24

Aqui vamos “travar” na linha Y = 5 , e ir substituindo os valores que P ( X ) pode assumir.

P ( k , 5 ) 0,24 = 1 8 ,     X = 0 7 24 ,     X = 1 7 12 ,     X = 2

Passo 3

c) Calcule E X Y , ou seja, o número médio de auxiliares por atendimento.

Aqui basicamente vamos fazer cada X Y e multiplicar pela sua probabilidade, e ir somando os resultados.

E X Y = ∑ x = 0 2 ∑ y = 3 5 x y p ( x , y ) = 0 + 1 3 ∙ 0,11 + 1 4 ∙ 0,16 + 1 5 ∙ 0,07 + 2 3 ∙ 0,07 + 2 4 ∙ 0,09 + 2 5 ∙ 0,14 ≈ 0,238

Resposta

a) Não

b) 1 8 , 7 24 , 7 12

c) 0,238

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