Supondo encontre as soluções do problema
Estudando os 3 casos, , , .
Passo 1
A primeira coisa que vamos fazer é escrever a equação característica:
Agora vamos encontrar as soluções da EDO para cada caso de e depois juntar as respostas que encontrarmos.
Passo 2
Caso 1: , o que nos dá . Nesse caso, as soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:
Isso nos dá
Aqui temos o mesmo raciocínio:
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos .
Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Passo 3
Caso 2: , o que nos dá . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: e
Bom, as duas condições de contorno nos dão a mesma informação, não é? Temos, então que
Isso para o autovalor
Como escrevemos, por convenção, as autofunções sem a constante multiplicativa, temos o seguinte:
Essa é uma solução da nossa EDO, e qualquer combinação linear de também.
Passo 4
Caso 3 :. Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
Isso ocorre para valores múltiplos de , ou seja, quando:
A solução geral do caso 3 é, então do tipo:
Resposta
,
,