Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.
Passo 1
Para acharmos os autovalores e as auto funções temos que primeiro montar e resolver a equação característica do problema. Montando a equação.
Agora vamos analisar cada caso.
Passo 2
Caso
Quando temos uma raiz dupla nós já sabemos que a solução vai ter essa cara.
Como
Passo 3
Vamos usar os valores iniciais para descobrir se esse caso nos dá soluções não triviais. Vamos primeiro calcular
Agora vamos substituir os valores iniciais.
Logo . Então esse caso só nos deu uma solução trivial
Passo 4
Caso
Teremos duas raízes distintas e reais iguais a.
E a solução vai ter a seguinte cara.
Passo 5
Vamos usar os valores iniciais para descobrir se esse caso nos dá soluções não triviais. Vamos primeiro calcular
Vamos substituir os valores iniciais.
Como nesse caso , então . Vamos ter
Vamos substituir isso em e
E
Então
O que nos dá outra solução trivial.
Passo 6
Caso
Nesse caso iremos ter duas raízes complexas que serão
Então a nossa solução vai ter a seguinte cara.
Passo 7
Vamos usar os valores iniciais para descobrir se esse caso nos dá soluções não triviais. Vamos primeiro calcular
Vamos substituir os valores iniciais.
Como nesse caso
Agora nós temos dois casos ou
o que daria outra solução trivial, ou
Vamos tentar essa segunda opção.