Determine todos os valores de (e todas as soluções correspondentes), para os quais existem soluções não-nulas do problema de valor de contorno:
Passo 1
Como temos um problema de autovalor, vamos montar e resolver a equação característica da equação de .
Assim, a equação característica correspondente a EDO é . O discriminante é Vamos estudar os três casos.
Passo 2
:
Temos duas raízes reais distintas e a solução geral é na forma.
Substituindo a primeira condição de contorno, a , temos:
Usando agora a segunda condição de contorno, , temos:
(1)
(2)
Como , para a equação (2) der zero, é necessário que . Sabendo isso, substitui o valor encontrado em (1) e encontraremos que também é zero. Logo, o caso não temos soluções não-nulas.
Passo 3
Se :
Temos duas raízes reais repetidas com a solução geral no formato de
Substituindo a primeira condição de contorno, a , temos .
Usando agora a segunda condição de contorno, , temos:
Dado a descoberta da primeira condição, temos , de onde concluímos que
Logo, em também não temos soluções não nulas.
Passo 4
Se :
Temos duas raízes distintas e imaginárias, calculadas da seguinte forma:
A solução geral é da forma:
Substituindo a primeira condição de contorno, a , temos .
Usando agora a segunda condição de contorno, , temos:
Para ter solução não nula, é necessário que . Assim:
,
onde n é um inteiro estritamente maior que zero. Mas, como, temos que , de onde surge que . Logo, temos quatro soluções não nulas:
associada a
associada a
associada a
associada a
Resposta
associada a
associada a
associada a
associada a