(I)Encontre todos os valores de e todas as soluções associadas, para os quais existem soluções não-nulas do problema de valor de contorno

(ii) Para quais valores de , não existe nenhuma solução não-trivial do problema de contorno

Para qualquer valor de

Vamos, agora, analisar todas as possibilidades. Primeiramente, veremos:

Se (para ). Para esse caso, temos raízes reais distintas, com a solução geral no formato . Usando a condição na solução geral, temos que:

Com essa relação, temos agora . Com a segunda condição, , temos que:

Como , a expressão não tem como ser zero. Logo, temos que . Como a única solução, nesse caso, é trivial, vamos para a análise da segunda possibilidade.

A segunda possibilidade é:

Se , as raízes da equação indicial são iguais e a solução tem forma

Se , então . Se , então e . Temos apenas solução trivial nesse caso.

A terceira possibilidade é:

Se , as raízes da equação indicial são complexas e distintas. Isso acontece quando e . A solução geral da equação diferencial é:

Então, a condição força , enquanto a condição dá . Para obter uma solução não-trivial, devemos ter para algum Isso quer dizer que, para , o problema de valor de contorno admite a solução:

Porém, essa raiz quadrada é um número real, somente se, , ou seja, . Então, somente para , temos com soluções

,

(ii)

Para algum outro valor , no intervalo , temos uma solução y com se:

Logo,

De novo, isso vem com a restrição de que:

Isso é impossível, ou não terá nenhuma solução não-trivial, se:

Ou seja,

Isso é dizer, nenhuma solução não-trivial de , para qualquer , satisfaz .