Determine todos os valores de para os quais o seguinte problema de EDO com condições de contorno tem ao menos uma solução diferente de zero.

Começamos com o caso em que . Nesse caso que o valor dentro da raiz de será positivo, logo teremos raízes reais e distintas e, por conta disso, a solução na forma de senos e cossenos hiperbólicos:

Agora precisamos determinar as constantes e para esse caso. Para isso, usamos as condições de contorno. Como . Temos:

Temos mais uma condição, mas para aplica-la, precisamos encontrar a derivada.

Sem o sinal de menos que estamos acostumados para a derivada cosseno convencional. Já considerando , temos:

Assim, temos:

Precisamos aqui que , ou . Por hipótese, como estamos considerando , segue que:

Além disso, por definição, temos:

Logo, percebemos que resta some:

Isso significa que teremos apenas:

Para . Esse valor não nos interessa então.

Assim, passamos para o caso em que . Neste caso, , logo teremos duas raízes nulas e iguais e teremos, portanto, solução na forma de uma reta:

Sendo:

Assim, aplicando as condições de contorno, temos:

Logo, novamente temos:

Para . Como é solução trivial, não interessa para gente também.

Nossas esperanças pairam sobre . Vamos ver esse caso então. Quando o que está dentro da raiz de é um número negativo, portanto a solução é da forma:

O sinal troca justamente para que possamos extrair o . Legal, assim teremos solução na forma de senos e cossenos:

Assim, teremos para as condições de contorno associadas:

Agora, já substituindo o valor de :

Para que não tenhamos solução trivial novamente, precisamos que

Agora olhe só o círculo trigonométrico:

Como o cosseno está no eixo e o seno no eixo , vemos que:

Ou seja, o cosseno se anula para todo múltiplo ímpar de . Logo, temos que:

Logo, isolando temos os nossos autovalores associados:

Sendo maior ou igual a zero. Pronto, esses são os valores possíveis para que o problema tenha solução 😊