Encontrar os valores de pelos quais o seguinte problema tem solução não trivial.
Escolha uma opção:
a) Nenhum
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Para acharmos os autovalores e as autofunções temos que primeiro montar e resolver a equação característica do problema. Montando a equação, temos que
Calculando :
Agora vamos analisar cada caso.
Passo 2
No primeiro, caso onde , temos que:
Quando temos uma raiz dupla nós já sabemos que a solução vai ter essa cara.
Como
Passo 3
Vamos usar os valores iniciais para descobrir se esse caso nos dá soluções não triviais. Vamos primeiro calcular
Agora vamos substituir os valores iniciais.
Logo . Então esse caso só nos deu uma solução trivial
Passo 4
Para o segundo caso, avaliamos se ...
Teremos duas raízes distintas e reais iguais a.
E a solução vai ter a seguinte cara.
Passo 5
Vamos usar os valores iniciais para descobrir se esse caso nos dá soluções não triviais. Vamos primeiro calcular
Vamos substituir os valores iniciais.
Como nesse caso , então . Vamos ter
Vamos substituir isso em e
E
Sendo assim...
E consequentemente...
O que nos dá outra solução trivial.
Passo 6
Por último, falta ver o caso onde
Nesse caso iremos ter duas raízes complexas que serão
Então a nossa solução vai ter a seguinte cara.
Passo 7
Vamos usar os valores iniciais para descobrir se esse caso nos dá soluções não triviais. Vamos primeiro calcular
Vamos substituir os valores iniciais.
E também temos que...
Como nesse caso , para a equação da primeira derivada, temos que
Agora nós temos dois casos ou
o que daria outra solução trivial, ou
Vamos tentar essa segunda opção.
Resposta
e)