Encontre todos os valores de para os quais existem soluções não triviais da seguinte equação de Euler com condições de contorno.
Quais são as soluções não triviais?
Passo 1
Vamos começar resolvendo a equação de Euler, ok?
Para achar o polinômio característico, lembramos que a solução que esperamos será sempre da forma:
Para toda equação de Euler. Assim, vamos ter que:
Agora, substituímos isso na nossa equação:
Ficando:
E vamos poder deixar em evidência:
Com ao gente quer solução não trivial, então precisamos que . Logo, precisamos que:
Legal. Esse vai ser nosso polinômio característico! Vamos distribuir e achar agora:
Bom, agora teremos que estudar os casos dos valores de !
Passo 2
Caso 1:
As raízes do polinômio serão diferentes e reais:
E então a solução da EDO será:
Usando as condições de contorno:
Podemos cortar em ambos os lados o termo :
Ficamos então com um sistema:
Substituindo a primeira equação na segunda:
Como queremos a solução não trivial:
Mas perceba que estamos indo de encontro ao que dissemos antes. A gente assumiu ali no início que , então não temos solução para .
Passo 3
Caso 2:
Teremos então raízes reais e iguais:
E a solução será:
Beleza, agora vamos usar novamente as condições de contorno:
Para
Para
O que nos deu a solução trivial.
Passo 4
Por fim, vamos olhar para o último caso:
Teremos raízes complexas. Vamos chamar
E então a solução será:
Beleza, agora vamos usar novamente as condições de contorno:
Para
Para
Como queremos a solução não trivial, temos que :
Nossa solução então será:
E daí podemos escolher qualquer constante para colocar nessa solução, pois sempre será solução. Com isso, teremos nossas autofunções que não possuem essa constante geral:
Além disso, nossa solução não será trivial. Portanto, temos os autovalores associados. Vimos então que
nos dá soluções não triviais. Como definimos . Então:
Logo:
Os são nossos autovalores, ou seja, todos os valores de para qual temos solução trivial para o problema!