Problemas de Valores de Contorno
Encontre as autofunções e autovalores do problema
Passo 1
A primeira coisa que vamos fazer é escrever a equação característica, ok? Temos o seguinte:
Lembra que vira , vira e vira apenas o número , beleza?
Certo, isso nos dá então:
Sendo, para cada sinal:
Como não sabemos o valor de , temos que analisar o problema para cada caso de .
Passo 2
O primeiro caso é quando , o que nos dá:
Nesse caso, as soluções são do tipo:
Em que e são as raízes da equação característica. Substituindo o que já encontramos:
Agora vamos usar as condições de contorno: e para encontrar os valores das constantes. Temos:
Isso nos dá, como :
Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Passo 3
Vamos agora ao caso em que , o que nos dá e nesse caso temos uma única raiz () para equação característica e devemos incluir um para que os dois termos não fiquem idênticos. Assim, as soluções são do tipo:
Para :
Logo, temos:
Agora vamos usar as condições de contorno: e
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos:
Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada, então o caso também não traz soluções para a EDO.
Passo 4
Vamos agora ao último caso, . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso,
As soluções são do tipo:
Sendo a parte real e a parte imaginária.
Substituindo
E teremos:
Agora vamos usar as condições de contorno: e . Temos:
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade aí em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
Mas como o seno é uma função trigonométrica -periódica, isso não tem só uma resposta. O seno, se anula em , sendo inteiro, logo:
Nós descobrirmos, então, um conjunto de valores (autovalores) que satisfazem o nosso problema. Além disso, temos que , logo
Substituindo na expressão geral de , temos os autovetores:
Como o 3º caso é o único que nos dá soluções não triviais, essa é a resposta da questão.