Encontre as autofunções e autovalores do problema
(Dica: use a equação de Euler)
Passo 1
Como de fato trata-se de uma equação de Euler, vamos usar a dica do enunciado. Estamos procurando soluções da forma . Disso temos.
Substituindo esses valores na nossa EDO.
Manipulando a equação.
Agora temos que analisar os 3 casos possíveis para a nossa equação característica.
Passo 2
Caso
Nesse caso teremos duas raízes reais e distintas, e . Lembrando que nesse caso na equação de Euler a nossa solução terá o seguinte formato.
Nesse caso será
Vamos testar as igualdades fornecidas. Testando a primeira.
Testando a segunda
Como não existe que faça com que , temos que
Então só existem soluções triviais nesse caso.
Passo 3
Caso
Nesse caso teremos uma raiz dupla . Lembrando que nesse caso na equação de Euler a nossa solução terá o seguinte formato.
Nesse caso será
Vamos testar as igualdades fornecidas. Testando a primeira
Testando a segunda
Esse caso também só temos soluções triviais
Passo 4
Caso
Nesse caso teremos raízes imaginarias e a nosssa solução terá o seguinte formato.
Vamos testar as igualdades fornecidas. Testando a primeira
Testando a segunda
Disso nós temos a possibilidade de que nos dá outra solução trivial e a possibilidade do seno ser igual a zero. Vamos analisar a segunda possibilidade.
Achamos os nossos autovalores e, consequentemente, as nossas autofunções.