Exercícios Resolvidos de Problemas de Autovalor

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Enunciado

Encontre as autofunções e autovalores do problema

x 2 y ' ' + x y ' = λ y y 1 = y 2 = 0

(Dica: use a equação de Euler)

Passo 1

Como de fato trata-se de uma equação de Euler, vamos usar a dica do enunciado. Estamos procurando soluções da forma y x = x r . Disso temos.

y ' x = r x r - 1 ,     y ' ' x = r r - 1 x r - 2

Substituindo esses valores na nossa EDO.

x 2 r r - 1 x r - 2 + x r x r - 1 = λ x r

Manipulando a equação.

r 2 - λ x r = 0 ⇔ r 2 - λ = 0

Agora temos que analisar os 3 casos possíveis para a nossa equação característica.

Passo 2

Caso λ > 0

Nesse caso teremos duas raízes reais e distintas, r 1 = - λ e r 2 = λ . Lembrando que nesse caso na equação de Euler a nossa solução terá o seguinte formato.

y x = a x r 1 + b x r 2 ,     a ,   b ∈ R  

Nesse caso será

y x = a x - λ + b x λ ,     a ,   b ∈ R

Vamos testar as igualdades fornecidas. Testando a primeira.

y 1 = a + b = 0

a = - b

Testando a segunda

y 2 = a ( 2 - λ - 2 λ ) = 0

Como não existe λ > 0 que faça com que 2 - λ - 2 λ = 0 , temos que

a = - b = 0

Então só existem soluções triviais nesse caso.

Passo 3

Caso Δ = 0

Nesse caso teremos uma raiz dupla r = 0 . Lembrando que nesse caso na equação de Euler a nossa solução terá o seguinte formato.

y x = a x r + b x r ln ⁡ x ,     a ,   b ∈ R

Nesse caso será

y x = a + b ln ⁡ x ,     a ,   b ∈ R

Vamos testar as igualdades fornecidas. Testando a primeira

y 1 = a = 0

Testando a segunda

y 2 = b ln ⁡ 2 = 0  

b = 0

Esse caso também só temos soluções triviais

Passo 4

Caso Δ < 0

Nesse caso teremos raízes imaginarias r = ± i | λ | e a nosssa solução terá o seguinte formato.

y x = a cos ⁡ λ ln ⁡ x + b sen ⁡ ( λ ln ⁡ x ) ,     a , b ∈ R

Vamos testar as igualdades fornecidas. Testando a primeira

y 1 = a = 0

Testando a segunda

y 2 = b sen ⁡ | λ ln ⁡ 2 = 0  

Disso nós temos a possibilidade de b = 0 que nos dá outra solução trivial e a possibilidade do seno ser igual a zero. Vamos analisar a segunda possibilidade.

sen ⁡ | λ ln ⁡ 2   = 0

| λ | ln ⁡ 2 = n π ,     n ∈ Z

λ n = - n π ln ⁡ 2 2 ,     n ∈ Z

Achamos os nossos autovalores e, consequentemente, as nossas autofunções.

y n x = sen ⁡ n π ln ⁡ x ln ⁡ 2

Resposta

y n x = sen ⁡ n π ln ⁡ x ln ⁡ 2

λ n = - n π ln ⁡ 2 2 ,     n ∈ Z

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6 , diga se o problema de valores de contorno dado é homogêneo ou não homogêneo - y ' ' + x 2 y = λ y , y ' 0 - y 0 = 0 , y ' 1 + y 1 = 0
Resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução..
Considere o problema em que α é uma constante dada. Se α1, mostre que existe exatamente um autovalor negativo e que esse autovalor diminui quando a aumenta.
Considere o problema em que α é uma constante dada. Mostre que λ = 0 é um autovalor, se e somente se α = 1.
Determine se o problema de valores de contorno dado é autoadjunto.