Considere o com produto interno usual. Seja o subespaço vetorial real que é o conjunto solução deste sistema:
- Determine uma base para
- Determine uma base ortogonal para
- Seja o operador reflexão em determine
Passo 1
Letra a)
Vamos escrever o sistema linear em forma de matriz aumentada:
Agora vamos escalonar totalmente para ficar mais fácil de achar o conjunto solução:
Voltando ao sistema de equações:
Colocamos todas as variáveis em função de e , nossa base para o espaço fica então:
:
Como esses vetores geradores formam um conjunto LI, base é
Passo 2
Letra b)
Para achar o espaço , vamos achar os vetores perpendiculares ao nosso espaço fazendo o produto interno e igualando a zero!
Sendo um vetor genérico de :
Temos uma base para formada por esses vetores geradores acima, já que formam um conjunto LI.
Entretanto o produto interno dos vetores da base não é zero, o que indica que a base não é ortogonal!
Passo 3
Vamos fazer o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para achar a base ortogonal a partir da base que nós temos:
A base ortogonal será então
Passo 4
Letra c)
Juntando as bases de e temos uma base do .
Sabendo que:
Assim, temos os vetores transformação da nossa base e conseguimos com eles chegar a uma fórmula para essa reflexão.
Um vetor qualquer do pode ser escrito como combinação linear dos vetores da nossa base, dessa forma:
Vamos achar os valores desses coeficientes em função de e pois pelas propriedades da transformação linear, podemos achar sua fórmula aplicando a transformação em cada um dos vetores dessa equação:
Temos todas essas transformações, o que falta são os coeficientes! Bora calculá-los:
Como esse sistema é mais complicadinho, fica mais fácil passarmos para a forma matricial e escalonarmos do que tentarmos fazer várias substituições:
Assim, temos que:
Passo 5
Vamos substituir tudo na expressão que achamos lá em cima: