Exercícios Resolvidos de Reflexão Ortogonal

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Enunciado

Considere o R 4 com produto interno usual. Seja W o subespaço vetorial real que é o conjunto solução deste sistema: x - y + z - t = 0 x - 2 y + 2 z - 3 t = 0

  1. Determine uma base para W
  2. Determine uma base ortogonal para W ⊥
  3. Seja R W ⊥ : R 4 → R 4   o operador reflexão em W ⊥ , determine R W ⊥ x , y , z , t

Passo 1

Letra a)

Vamos escrever o sistema linear em forma de matriz aumentada:

1 - 1 1 1 - 2 2         - 1 - 3 0 0

Agora vamos escalonar totalmente para ficar mais fácil de achar o conjunto solução:

L 2 → L 2 - L 1 1 - 1 1 0 - 1 1         - 1 - 2 0 0

L 1 → L 1 - L 2 1 0 0 0 - 1 1         1 - 2 0 0

Voltando ao sistema de equações:

x + t = 0 ⟹ x = - t - y + z - 2 t = 0 ⟹ y = z - 2 t

Colocamos todas as variáveis em função de t e z , nossa base para o espaço fica então:

W = - t , z - 2 t , z , t ,   ∀   t   ,   z   ∈ R = t - 1 , - 2,0 , 1 + z 0 ,   1 ,   1 ,   0 :

Como esses vetores geradores formam um conjunto LI, base é - 1 , - 2,0 , 1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   0 .

Passo 2

Letra b)

Para achar o espaço W ⊥ , vamos achar os vetores perpendiculares ao nosso espaço W   fazendo o produto interno e igualando a zero!

Sendo x ,   y ,   z ,   t   um vetor genérico de W ⊥ :

< x , y , z , t , - 1 ,   - 2 ,   0 ,   1 >   = 0 ⟹ - x - 2 y + t = 0 ⟹ x = 2 z + t < x ,   y ,   z ,   t ,   0 ,   1 ,   1 ,   0 ≥ 0 ⟹ y + z = 0 ⟹ y = - z

x ,   y ,   z ,   t = 2 z + t ,   - z ,   z ,   t = z 2 ,   - 1 ,   1 ,   0 + t 1 ,   0 ,   0 ,   1

Temos uma base para W ⊥ formada por esses vetores geradores acima, já que formam um conjunto LI.

< 2 , - 1,1 , 0 , 1 ,   0 ,   0 ,   1 >   = 2

Entretanto o produto interno dos vetores da base não é zero, o que indica que a base não é ortogonal!

Passo 3

Vamos fazer o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para achar a base ortogonal a partir da base que nós temos:

v 1 ' = 1 ,   0 ,   0 ,   1

v 2 ' = 2 ,   - 1 ,   1 ,   0 - < 2 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 > < 1 ,   0 ,   0 ,   1 , 1 ,   0 ,   0 ,   1 > 1 ,   0 ,   0 ,   1 = 2 ,   - 1 ,   1 ,   0 - 2 2 ( 1 ,   0 ,   0 ,   1 )

v 2 ' = ( 1 , - 1 ,   1 ,   - 1 )

A base ortogonal será então { 1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 }

Passo 4

Letra c)

Juntando as bases de W ⊥ e W temos uma base do R 4 .

Sabendo que: v   ∈ W ⟹ R W ⊥ v = - v v ∈   W ⊥ ⟹ R W ⊥ v = v

Assim, temos os vetores transformação da nossa base e conseguimos com eles chegar a uma fórmula para essa reflexão.

Um vetor qualquer do R 4 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da nossa base, dessa forma:

x ,   y ,   z , t = a 0,1 ,   1 ,   0 + b - 1 , - 2 ,   0 ,   - 1 + c 1 ,   0 ,   0 ,   1 + d ( 1 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 ) ⟺

x ,   y ,   z , t = - b + c + d ,   a - 2 b - d ,   a + d ,   - b + c - d

Vamos achar os valores desses coeficientes em função de x ,   y ,   z   e t pois pelas propriedades da transformação linear, podemos achar sua fórmula aplicando a transformação em cada um dos vetores dessa equação:

R W ⊥ x ,   y ,   z , t = a R W ⊥ 0,1 ,   1 ,   0 + b R W ⊥ - 1 , - 2 ,   0 ,   - 1 + c R W ⊥ 1 ,   0 ,   0 ,   1 + d R W ⊥ ( 1 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 )

Temos todas essas transformações, o que falta são os coeficientes! Bora calculá-los:

x ,   y ,   z , t = - b + c + d ,   a - 2 b - d ,   a + d ,   - b + c - d

- b + c + d = x a - 2 b - d = y a + d = z - b + c - d = t

Como esse sistema é mais complicadinho, fica mais fácil passarmos para a forma matricial e escalonarmos do que tentarmos fazer várias substituições:

0 1 1 0       - 1 - 2 0 1       1 0 0 1       1 - 1 1 - 1 x y z t   ∽ 1 1 0 0       0 - 2 - 1 1       0 0 1 1       1 - 1 1 - 1 z y x t   ∽   1 0 0 0       0 - 2 - 1 1       0 0 1 1       1 - 2 1 - 1 z y - z x t   ∽

1 0 0 0       0 - 2 - 1 0       0 0 1 2       1 - 2 1 0 z y - z x t + x   ∽ 1 0 0 0       0 1 0 0       0 0 1 1       1 1 2 0 z ( z - y ) / 2 ( 2 x + z - y ) / 2 ( t + x ) / 2   ∽ 1 0 0 0       0 1 0 0       0 0 0 1       1 1 2 0 z ( z - y ) / 2 ( x + z - y - t ) / 2 ( t + x ) / 2   ∽

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 ( 3 z - x + y + t ) / 4 ( z - y - x + t ) / 4 ( x + t ) / 2 ( x - y + z - t ) / 4  

Assim, temos que:

a = 3 z - x + y + t 4 ,   b = z - y - x + t 4 ,   c = x + t 2 ,   d = x - y + z - t 4

Passo 5

Vamos substituir tudo na expressão que achamos lá em cima:

R W ⊥ x ,   y ,   z , t = a R W ⊥ 0,1 ,   1 ,   0 + b R W ⊥ - 1 , - 2 ,   0 ,   - 1 + c R W ⊥ 1 ,   0 ,   0 ,   1 + d R W ⊥ ( 1 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 )

R W ⊥ x ,   y ,   z , t = 3 z - x + y + t 4 0 ,   - 1 ,   - 1 ,   0 + z - y - x + t 4 1 ,   2 ,   0 ,   - 1 + x + t 2 1 ,   0 ,   0 ,   1 +   x - y + z - t 4   1 ,   - 1 ,   1 ,   - 1

R W ⊥ x ,   y ,   z , t = 1 2 ( x - y + z + t ,   - x - y - z + t ,   x - y - z - t ,   x + y - z + t )

Resposta

  1. - 1 , - 2,0 , 1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   0
  2. 1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   - 1
  3. R W ⊥ x ,   y ,   z , t = 1 2 ( x - y + z + t ,   - x - y - z + t ,   x - y - z - t ,   x + y - z + t )