A3 T18 T13 A5 T2 T3 A2 T16 T19 T21 T22 T23
Seja o operador linear . Considere o munido do produto interno canônico.
Por que é autoadjunto? Encontre uma base ortogonal de formada por autovetores de .
Use os cálculos de para concluir que é o operador de reflexão em torno de um certo plano e determine .
Seja o operador de reflexão em torno do plano , isto é, . Mostre que a composição é uma rotação e determine o seu eixo.
Passo 1
Como estamos usando o produto interno convencional, a base canônica é uma base ortonormal. Então, escrevendo a matriz que representa nessa base temos:
Claramente todas as colunas de são ortogonais entre si e possuem norma . Logo, elas formam um conjunto ortonormal, provando que é autoadjunto.
Passo 2
Para achar uma base de autovetores agora precisamos do polinômio característico de
Logo, os autovalores são , com multiplicidade , e . Agora para encontrar os autoespaços:
Logo, os vetores desse autoespaço são da forma:
E temos:
:
Logo, os vetores desse autoespaço são da forma:
E temos:
Juntando a base dos dois autoespaços teremos uma base de autovetores:
Além disso, repare que a base já é ortogonal! Então essa aí que é a resposta mesmo.
Passo 3
Se escrevermos a matriz da nossa transformação em função da base de autovetores que encontramos na letra , temos:
Além disso, o autovetor associado ao autovalor é ortogonal aos autovetores associados ao autovalor ! O que caracteriza exatamente uma reflexão por um plano! Nesse caso, pelo plano formado pelos vetores . Logo:
Passo 4
Temos que:
Então, a representação dessa composição de transformações na base canônica é dada por:
Que, de acordo com a fórmula da nossa matriz rotação, é a rotação de ou de dependendo do sentido escolhido:
Resposta