Exercícios Resolvidos de Reflexão Ortogonal

Ver Teoria

Enunciado

Seja r uma reta de R 2 que passa pela origem e seja A a matriz que representa a projeção ortogonal sobre r seguida da reflexão pelo complemento ortogonal de r . Considere as afirmativas abaixo:

I   -   A é uma matriz simétrica

I I   - O núcleo de A é o complemento ortogonal da imagem de A

(a) Ambas são verdadeiras

(b) I é falsa e I I é verdadeira

(c) I é verdadeira e I I é falsa

(d) Ambas são falsas

Passo 1

Bom, primeira coisa que temos que saber é que uma matriz projeção sempre vai ser simétrica.

B = a b b c

A nossa matriz A vai ser a composição dessa matriz projeção com uma reflexão. O que acontece é o seguinte:

Reparem que quando eu refleti, o vetor foi apenas invertido, ou seja, se era u virou – u .

Assim, os vetores da imagem da minha matriz projeção vão mudar de sinal para virar a matriz A :

B = - a - b - b - c

E assim minha matriz continua simétrica, então a afirmativa é verdadeira.

Passo 2

Bom, o núcleo de A   vai ser a reta ortogonal a reta r pois como todos os vetores nele são perpendiculares, as projeções vão ser nulas!

E a imagem de A são todos os vetores que obtivemos após a aplicação de A , com o esqueminha que mostrei ali em cima, vemos que é a própria reta r .

N u c A = r ⊥ = I m A ⊥

Logo, essa segunda afirmativa é verdadeira!

Resposta

a