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Exercícios Resolvidos de Reflexão Ortogonal

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Exercício 3124567891011121314151617

Enunciado

UFPE, Álgebra Linear, 3 a EE -2017.2, Questão 2b

b) Seja V espaço vetorial com < , > . Seja W subespaço de V . Sejam R W e R W ⊥ os operadores reflexão em W e em W ⊥ , respectivamente. Mostre que ∀ v ∈ V temos R W ⊥ R W v = - v .

Passo 1

Como W é subespaço de V , sei que:

W ⨁ W ⊥ = V

Então, posso escrever v como:

v = w 1 + w 2

Sendo w 1 ∈ W e w 2 ∈ W .  

Passo 2

Sei também que a reflexão de um vetor u   nesses espaços vai ser:

S e   u ∈ W ,   e n t ã o   R W u = u   e   R W ⊥ u = - u S e   u ∈ W ⊥ ,   e n t ã o   R W u = - u   e   R W ⊥ u = u

Então, vamos analisar R W ⊥ R W v = - v :

R W ⊥ R W w 1 + w 2 = R W ⊥ R W w 1 ) + R W ( w 2

Lembrando que w 1 ∈ W e w 2 ∈ W :

R W ⊥ w 1 - w 2 = R W ⊥ w 1 - R W ⊥ w 2 = - w 1 - w 2

Como   v = w 1 + w 2 , - w 1 - w 2 vai ser igual a – v assim como queríamos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)