Sejam uma base de e uma base de . Sejam também e as transformações de projeção e reflexão ortogonal em relação a respectivamente. Calcule e onde .
Passo 1
Primeiro vamos definir as bases do enunciado. Vamos chamar e como é base do complemento ortogonal de , é a continuação direta da base de , . E assim nossa base do é:
Passo 2
Pronto! Agora é só montar a matriz, que já estamos acostumados a montar! Vamos fazer primeiro a da projeção.
Vamos aplicar a nos vetores da base que são de , e depois os que são de .
Já que é base de :
Já que é base de :
Passo 3
Agora que já temos a imagem dos nossos vetores da base, só falta reescrevê-los na própria base . Mas como pertencem à base , a primeira parte da nossa matriz ficará assim:
Agora como o resto deu zero, a nossa matriz vai ficar assim:
Passo 4
A mesma ideia vamos aplicar à transformação reflexão. Então, vamos calcular as imagens dos vetores da base do nosso domínio:
Já que é base de .
Passo 5
Agora observe que os vetores da imagem compõem também a base , e assim fica bem fácil de escrever a nossa matriz! Primeiro, vamos fazer a matriz até os vetores da base de .
Agora vamos fazer até :