Exercícios de Reflexão Ortogonal - Lista de Exercícios Resolvida

Determine as matrizes das :

reflexão em torno da reta

, reflexão em torno do plano

Sejam uma base de e uma base de . Sejam também e as transformações de projeção e reflexão ortogonal em relação a respectivamente. Calcule e onde .

b) Seja espaço vetorial com Seja subespaço de Sejam e os operadores reflexão em e em , respectivamente. Mostre que temos

Seja a reflexão (espelhamento) em relação ao plano e

A matriz de na base de .

Sejam e dois vetores em . Encontre valores numéricos para que garantam que

Sejam um subespaço de , a projeção ortogonal sobre e a reflexão ortogonal com relação a . Para um vetor qualquer:

1. Pode-se afirmar que .
2. Pode-se afirmar que .

1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
2. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
3. (I) é falsa e (II) é falsa.
4. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Seja a transformação linear que é a reflexão com relação ao plano de equação

a)Mostre que a transformação é definida pela matriz

b)Determine a reflexão de com relação ao plano

c)Determine o posto e a nulidade de do item(a).

d)A matriz do item (a) é invertível? Se sua resposta foi afirmativa, determine Se sua resposta foi negativa, justifique.

A segunda linha da matriz reflexão ortogonal pelo plano formado pelos vetores e é:

(a)

(b)

(c)

(d)

Seja uma reta de que passa pela origem e seja a matriz que representa a projeção ortogonal sobre seguida da reflexão pelo complemento ortogonal de . Considere as afirmativas abaixo:

é uma matriz simétrica

O núcleo de é o complemento ortogonal da imagem de

(a) Ambas são verdadeiras

(b) é falsa e é verdadeira

(c) é verdadeira e é falsa

(d) Ambas são falsas

Considere um vetor de e , a reta de equação :

A projeção ortogonal de em é igual à projeção ortogonal de na direção do vetor

A reflexão ortogonal de por é igual à menos a projeção ortogonal de na direção do vetor

(a) Ambas são falsas

(b) é falsa e é verdadeira

(c) Ambas são verdadeiras

(d) é verdadeira e é falsa

Calcule a reflexão ortogonal do vetor através do plano gerado por e

(a) (1,0,-1,1)

(b) (0,0,-1,0)

(c) (0,0,-1,1)

(d) (0,1,-1,0)

Assinale a distância do vetor à sua reflexão ortogonal pelo plano de equação

a)

b)

c)

d)

e) Não sei

Seja o operador linear . Considere o munido do produto interno canônico.

Por que é autoadjunto? Encontre uma base ortogonal de formada por autovetores de .

Use os cálculos de para concluir que é o operador de reflexão em torno de um certo plano e determine .

Seja o operador de reflexão em torno do plano , isto é, . Mostre que a composição é uma rotação e determine o seu eixo.

Seja o subespaço de dado por:

Determine , o complemento ortogonal de .

Determine uma base ortogonal para a partir de e . Dica: .

Determine a matriz do operador reflexão sobre na base acima.

Seja o complemento ortogonal do subespaço gerado pelo vetor em .

Determine uma base de na qual as matrizes dos operadores projeção ortogonal sobre e reflexão por são diagonais. Quais são essas matrizes, respectivamente?

Indique como obter as matrizes acima (correspondendo aos operadores projeção ortogonal sobre e reflexão por ) na base canônica de .

Note: Deixe os cálculos indicados.

Considere o com produto interno usual. Seja o subespaço vetorial real que é o conjunto solução deste sistema:

1. Determine uma base para
2. Determine uma base ortogonal para
3. Seja o operador reflexão em determine

Seja . Então:

Determine uma base ortogonal para a partir de bases de e , o complemento ortogonal de .

Determine a matriz associada ao operador projeção sobre na base acima.

Determine a matriz associada ao operador reflexão sobre na base acima.

Seja um subespaço não trivial de . Sejam e respectivamente a projeção e a reflexão ortogonais com respeito a

é ortogonal a

é ortogonal a

(a) Ambas são falsas

(b) é falsa e é verdadeira

(c)Ambas são verdadeiras

(d)é verdadeira e �� falsa