A2 T6 T9 T21 A3 T9 T13 A5 T3
Seja o subespaço de dado por:
Determine , o complemento ortogonal de .
Determine uma base ortogonal para a partir de e . Dica: .
Determine a matriz do operador reflexão sobre na base acima.
Passo 1
Letra
Como não foi falado nada, usaremos o produto interno usual! Queremos uma matriz que seja ortogonal à todas as matrizes da base de , então:
Logo, temos que . Então:
Passo 2
Como a soma de um subespaço com seu complemento ortogonal é sempre direta, temos que podemos obter uma base para simplesmente unindo as bases de e :
O único cuidado que precisamos ter é que ele pede uma base ortogonal! Sabemos que é ortogonal às outras matrizes já que ele pertence ao , mas será que os vetores da base de são ortogonais? Fazendo o produto interno dois a dois temos que:
Então, de fato, nossa base é ortogonal XD.
Passo 3
Letra
Queremos a matriz reflexão sobre na base que achamos para . Bom, sabemos o seguinte sobre a reflexão:
Se . Logo, é autovetor associado à
Se . Logo, é autovalor associado à
Como a base que encontramos só possui elementos de e , ela é uma base de autovetores! Logo, a matriz escrita nessa base será a matriz diagonal de autovalores:
Só precisamos tomar cuidado com a ordem! Na nossa base a matriz que pertencia à vinha por último, então na matriz diagonal o também deve vir por último!!
Resposta