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Exercícios Resolvidos de Reflexão Ortogonal

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Exercício 1612345678910111213141517

Enunciado

A3 T9 T12 T13 A5 T3

Seja W = 1 , 1 , - 1 ⊂ R 3 . Então:

a Determine uma base ortogonal para R 3 a partir de bases de W e W ⊥ , o complemento ortogonal de W .

b Determine a matriz associada ao operador projeção sobre W ⊥ na base acima.

c Determine a matriz associada ao operador reflexão sobre W ⊥ na base acima.

Passo 1

a Antes de acharmos essa base, precisamos encontrar uma base para W ⊥ :

x , y , z , 1,1 , - 1 = x + y - z = 0

z = x + y

O vetor genérico de W ⊥ é:

x , y , x + y = x 1,0 , 1 + y 0,1 , 1

Logo, uma base para W ⊥ é:

1,0 , 1 , 0,1 , 1

A base de W ⊥ já é ortogonal em relação à base de W , mas ela ainda não é ortogonal entre ela haha. Então precisamos ortogonalizá-la!

Passo 2

Definimos a base ortogonal de W ⊥ como:

β = w 1 , w 2

Onde:

w 1 = 1,0 , 1

w 2 = 0,1 , 1 - 0,1 , 1 , 1,0 , 1 1,0 , 1 , 1,0 , 1 1,0 , 1 = 0,1 , 1 - 1 2 1,0 , 1 = - 1 2 , 1,1 2

Logo:

β = 1,0 , 1 , - 1 2 , 1 , 1 2

Passo 3

Como R 3 = W ⊕ W ⊥ , unindo as bases de W e W ⊥ temos uma base para o R 3 :

α = 1,1 , - 1 , 1,0 , 1 , - 1 2 , 1 , 1 2

Passo 4

b A base que encontramos é uma base de autovetores! O que quer dizer que que a matriz que representa o operador projeção sobre W ⊥ nessa base é a matriz diagonal de autovalores! Como:

v ∈ W ⊥ ⇒ P W ⊥ v = 1

v ∈ W ⇒ P W ⊥ v = 0

Temos que:

P W ⊥ α α = 0 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 5

c Raciocínio análogo à letra b . Mas agora temos que:

v ∈ W ⊥ ⇒ P W ⊥ v = 1

v ∈ W ⇒ P W ⊥ v = - v

Temos que:

P W ⊥ α α = - 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Resposta

a α = 1,1 , - 1 , 1,0 , 1 , - 1 2 , 1 , 1 2

b P W ⊥ α α = 0 0 0 0 1 0 0 0 1

c P W ⊥ α α = - 1 0 0 0 1 0 0 0 1