A3 T12 T13 A5 T3 T6 T8
Seja o complemento ortogonal do subespaço gerado pelo vetor em .
Determine uma base de na qual as matrizes dos operadores projeção ortogonal sobre e reflexão por são diagonais. Quais são essas matrizes, respectivamente?
Indique como obter as matrizes acima (correspondendo aos operadores projeção ortogonal sobre e reflexão por ) na base canônica de .
Note: Deixe os cálculos indicados.
Passo 1
Uma base de na qual as matrizes dos operadores projeção ortogonal sobre e reflexão por são diagonais é uma base de autovetores. No caso, a base será formada pela união de uma base de com uma base de .
Já temos uma base para :
será o plano ortogonal ao vetor :
Ele terá como vetor genérico:
Logo,
Passo 2
Juntando as bases teremos uma base para o na qual a matriz que representa os operadores é diagonal:
Para o operador projeção , e , logo:
Já para o operador reflexão , e , logo:
Passo 3
As matrizes dos operadores de reflexão e projeção na base canônica podem ser diagonalizadas de modo que teremos:
Onde é a matriz que representa os operadores na base canônica, é uma matriz de autovetores e é a matriz diagonal de autovalores. E repare que na letra nós obtemos essas matrizes! Se pegarmos os vetores de e jogarmos nas colunas de uma matriz, teremos:
E invertendo:
Ufa, agora para encontrarmos a projeção e a reflexão na base canônica é só fazermos o produto:
Resposta