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Exercícios Resolvidos de Reflexão Ortogonal

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Exercício 1234567891011121314151617

Enunciado

Determine as matrizes das T L s T : R n → R n :

a   n = 2 , reflexão em torno da reta 2 x - 3 y = 0

b   n = 3 , reflexão em torno do plano x - y + z = 0

Passo 1

a É pedida a matriz que representa a reflexão em torno da reta 2 x - 3 y = 0 . Primeiro vamos achar o vetor gerador da reta. Temos:

2 x = 3 y ⇒ x = 3 y 2

Logo os vetores da reta são da forma

3 y 2 , y = y 3 2 , 1

Portanto, um vetor gerador possível é o 3,2

O complemento ortogonal dessa reta é o subespaço gerado pelo vetor - 2,3

Com isso, chegamos à base do R 2 :

3,2 , - 2,3

Qualquer vetor x , y do R 2 pode então ser escrito como:

x , y = a 3,2 + b - 2,3

Aplicando a transformação em ambos os lados da igualdade:

T x , y = a T 3,2 + b T - 2,3

T x , y = a 3,2 + b 2 , - 3

Passo 2

Agora precisamos encontrar a e b em função de x e y :

x , y = a 3,2 + b - 2,3

x = 3 a - 2 b y = 2 a + 3 b       I I I

Fazemos 3 I + 2 I I :

3 x + 2 y = 9 a - 6 b + 4 a + 6 b

3 x + 2 y = 13 a

a = 3 x + 2 y 13

Substituindo em I :

x = 9 x + 6 y 13 - 2 b

2 b = - 4 x + 6 y 13

b = - 2 x + 3 y 13

Passo 3

Substituindo na equação da T L :

T x , y = 3 x + 2 y 13 3,2 + - 2 x + 3 y 13 2 , - 3

T x , y = 5 x + 1 2 y 13 , 12 x - 5 y 13

Abrindo a T L , temos:

T x , y = 5 x + 12 y 13 12 x - 5 y 13 = 1 13 5 12 12 - 5 x y

Logo, a matriz é dada por:

T = 1 13 5 12 12 - 5

Passo 4

b Agora precisamos da matriz que representa reflexão em torno do plano x - y + z = 0 . Os vetores desse plano obedecem a seguinte restrição:

x - y + z = 0 ⇒ y = x + z

O vetor genérico desse plano tem a forma:

x , x + z , z = x 1,1 , 0 + z 0,1 , 1

Uma base para ele seria então:

1,1 , 0 , 0,1 , 1

Onde:

R 1,1 , 0 = 1,1 , 0

R 0,1 , 1 = 0,1 , 1

Seu complemento ortogonal é a reta cujo gerador pode ser dado pela equação do plano:

x - y + z = 0

1 , - 1,1

Onde

R 1 , - 1,1 = - 1,1 , - 1

Temos então uma base para o R 3 :

1,1 , 0 , 0,1 , 1 , 1 , - 1,1

Logo,

x , y , z = a 1,1 , 0 + b 0,1 , 1 + c 1 , - 1,1

Passo 5

Aplicando a transformação em ambos os lados:

R x , y , z = a R 1,1 , 0 + b R 0,1 , 1 + c R 1 , - 1,1

R x , y , z = a 1,1 , 0 + b 0,1 , 1 + c - 1 , 1 , - 1

Precisamos descobrir a ,   b e c em função de x , y e z :

x , y , z = a 1,1 , 0 + b 0,1 , 1 + c 1 , - 1,1

x = a + c y = a + b - c z = b + c       I I I I I I

De I temos que:

a = x - c

De I I I temos que:

b = z - c

Substituindo a e b em I I :

y = x - c + z - c - c

3 c = x - y + z

c = x - y + z 3

Substituindo c em a e em b :

a = x - x - y + z 3

a = 2 x + y - z 3

b = z - x - y + z 3

b = - x + y + 2 z 3

Passo 6

Substituindo na equação da T L :

R x , y , z = 2 x + y - z 3 1,1 , 0 + - x + y + 2 z 3 0,1 , 1 + x - y + z 3 - 1,1 , - 1

R x , y , z = x + 2 y - 2 z 3 , 2 x + y + 2 z 3 , - 2 x + 2 y + z 3

Desmembrando a transformação:

R x , y , z = x + 2 y - 2 z 3 2 x + y + 2 z 3 - 2 x + 2 y + z 3 = 1 3 1 2 - 2 2 1 2 - 2 2 1 x y z

Logo, temos que:

R = 1 3 1 2 - 2 2 1 2 - 2 2 1

Resposta

a   1 13 5 12 12 - 5

b   1 3 1 2 - 2 2 1 2 - 2 2 1