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Exercícios Resolvidos de Reflexão Ortogonal

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Exercício 5123467891011121314151617

Enunciado

UFRJ, P4-2019.2

Sejam G um subespaço de R 3 , P G a projeção ortogonal sobre G e R G a reflexão ortogonal com relação a G . Para um vetor v → qualquer:

  1. Pode-se afirmar que v → - P G v → ∈ G ⊥ .
  2. Pode-se afirmar que v → + R G v → ∈ G ⊥ .
  1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
  2. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
  3. (I) é falsa e (II) é falsa.
  4. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

Show de bolinhas galera, na afirmativa (I) ele diz que v → - P G v → ∈ G ⊥ , ou seja, ele tá afirmando que o vetor v → - P G v → pertence ao complemento ortogonal do plano G , dado por G ⊥ . Masss, temos da nossa relação fundamental que:

P G v → + P G ⊥ v → = v →

Isto é, a projeção do vetor v → sobre o plano G somada com a projeção do vetor v → sobre o complemento ortogonal G ⊥ é igual ao próprio vetor v → !!! E se a gente passar P G v → pro outro lado do igual, teremos que:

P G ⊥ v → = v → - P G v →

Portanto o vetor v → - P G v → é exatamente igual a projeção do vetor v → sobre o complemento ortogonal G ⊥ , e se projetamos em cima desse complemento G ⊥ , com certeza v → - P G v → ∈ G ⊥ . Logo, afirmativa verdadeira.

Passo 2

Belezoca, já na afirmativa (II), ele diz que v → + R G v → ∈ G ⊥ , mas nossa equação para calcular a reflexão de um vetor v → por um plano G é dada por:

R G v → = 2 P G v → - v →

Ou seja, reflexão do vetor é igual a duas vezes a projeção do vetor sobre o plano, menos ele mesmo!! Iradoso, então se a gente passar vetor pro outro lado do igual, obtemos:

v → + R G v → = 2 P G v →

Portanto, o vetor v → + R G v → na verdade é igual ao dobro da projeção ortogonal do vetor v → sobre o plano G , então como estamos projetando sobre G , quer dizer que v → + R G v → ∈ G , o contrário do que diz a afirmativa (II), fazendo dela uma afirmativa falsa. Resposta certa, letra (b).

Resposta

Letra (b).