Um astronauta parte da Terra e viaja com velocidade de 0,99 c em direção à estrela Vega, que está a 26   a n o s - l u z de distância. Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, a quando o astronauta chegar a Vega; b quando os observadores terrestres receberem a notícia de que o astronauta chegou a Vega? c Qual é a diferença entre o tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra e o tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo?

Passo 1

a Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, quando o astronauta chegar a Vega?

Bom, como os dois eventos (saída e chegada do astronauta à Vega) ocorrem no mesmo lugar, visto da nave, o tempo medido na nave é o nosso tempo próprio. Beleza? Esse tempo pode ser calculado por:

Δ t = L u = ( 26   a n o s - l u z ) 0,99 c

Podemos escrever a velocidade da luz em anos-luz/ano. Basta lembrar que a luz viaja 1 ano-luz em 1 ano, ou seja, c = 1   a n o - l u z / a n o . Assim:

Δ t 0 = 26 0,99.1 = 26,26   a n o s

Passo 2

Além disso, sabemos que o tempo próprio se relaciona com o tempo medido de outro referencial por:

∆ t = γ ∆ t 0

Portanto, o tempo na Terra será:

∆ t = ∆ t 0 1 - u c 2 = 26,26 1 - 0,99 c c 2

∆ t = 186,15   a n o s

Passo 3

b Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, quando os observadores terrestres receberem a notícia de que o astronauta chegou a Vega?

O tempo total será igual à soma do tempo levado pelo astronauta para chegar à estrela com o tempo levado para o sinal chegar à Terra.

Se o sinal viaja na velocidade da luz e a estrela está à 26   a n o s - l u z de distância, o sinal levará 26   a n o s para chegar na Terra, logo:

Δ t = 186,15   + 26 = 212,15   a n o s

Passo 4

c Qual é a diferença entre o tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra e o tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo?

O tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra foi o que calculamos no item a , logo:

Δ t = 186,15   a n o s

E o tempo de viagem de acordo com a nave, que é o tempo próprio, foi calculado na ( a ) também:

Δ t 0 = 26,26   a n o s

Com isso, a diferença de tempo será:

Δ t - Δ t 0 = 186,15 - 26,26 = 159,89   a n o s

Resposta

a

Δ t = 186,15     a n o s

b

Δ t = 212,15   a n o s

c

Δ t - Δ t 0 = 159,89   a n o s

Exercícios Resolvidos de Relatividade do Tempo

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