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Exercícios Resolvidos de Relatividade do Tempo

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Exercício 18123456789101112131415161719

Enunciado

PUC, Física 4, P4 2016.2, 3

A partir dos princípios da Relatividade Restrita obtenha a relação entre o tempo próprio medido por um observador que se move com velocidade relativística em relação a outro referencial e o intervalo de tempo medido pelo observador no outro referencial (dito estacionário).

Passo 1

Vamos analisar primeiro o referencial de quem está se movendo, ou seja, dentro do vagão, juntamente com isso faremos uma analise de um evento de luz nos dois referencias estudados, mas primeiro vamos analisar o referencial em que o evento ocorre.

O tempo ∆ t 0 medido por Homer nos dois eventos é dado pela relação

∆ t 0 = 2 d c

Em que o tamanho do vagão é d e c é a velocidade da luz

Passo 2

Vamos analisar agora o referencial de quem está fora do referencial em que ocorre o evento, ou seja, no nosso caso o referencial de quem está fora do vagão.

Nesse caso podemos dizer que o tempo medido pela Lisa pode ser descrito pela fórmula

∆ t = 2 l c

Usando Pitágoras podemos escrever a nossa fórmula do seguinte jeito

l = d 2 + u . ∆ t 2 2

∆ t = 2 c d 2 + u . ∆ t 2 2

Passo 3

Agora temos duas fórmulas que podemos relacionar

∆ t = 2 c d 2 + u . ∆ t 2 2

∆ t 0 = 2 d c

Isolando d e relacionando as fórmulas teremos

d = c . ∆ t 0 2

∆ t = 2 c c . ∆ t 0 2 2 + u . ∆ t 2 2

Fazendo as transformações algébricas e mudanças teremos a seguinte

c . ∆ t 2 2 = c . ∆ t 0 2 2 + u . ∆ t 2 2

c . ∆ t 2 - u . ∆ t 2 = c . ∆ t 0 2

∆ t 2 ( c 2 - u 2 ) = c 2 . ∆ t 0 2

Isolando ∆ t teremos

∆ t 2 = c 2 . ∆ t 0 2 ( c 2 - u 2 )

∆ t 2 = ∆ t 0 2 ( c 2 - u 2 c 2 )

∆ t = ∆ t 0 1 - u c 2

Resposta

∆ t = ∆ t 0 1 - u c 2

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