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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente no R²

Ver Teoria
Exercício 91234567810111213

Enunciado

UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P2 - Profº Leonardo - 2018.2, Questão 2c

(2) Considere f x , y = ( x 2 - x ) y + y 2 2 - 1 2 , definida em todo R 2 . Responda:

c) Determine a equação da reta tangente à curva de nível f ( x ,   y ) = 0 no ponto 0,1 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que obter a reta tangente de f ( x ,   y ) = 0 no ponto a , b = 0,1 .

Parece complicado? 😬

A fórmula da reta tangente a partir da derivada de uma função é dada por

y - y 0 = m x - x 0

Assim, calculando m implicitamente como ∂ y ∂ x sendo y 0 = 1 e x 0 = 0 podemos definir a reta tangente...

Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro temos que obter as derivadas parciais de f para obter a derivada implícita de y em relação a x .

∂ f ∂ x = ∂ x 2 - x y + y 2 2 - 1 2   ∂ x = 2 x y - y

∂ f ∂ y = ∂ x 2 - x y + y 2 2 - 1 2   ∂ y = x 2 - x + y

Agora substituindo na equação da derivada implícita ∂ y ∂ x = - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y , temos

∂ y ∂ x = - 2 x y - y x 2 - x + y

Por fim, aplicamos o ponto a , b = 0,1

∂ y 0,1 ∂ x = - 2 0 1 - 1 0 2 - 0 + 1

∂ y 0,1 ∂ x = 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo nossas informações na equação y - y 0 = m x - x 0 sabendo que m = ∂ y 0,1 ∂ x

y - y 0 = m x - x 0

y - 1 = 1 x - 0

y = x + 1

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

y = x + 1

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