Considere a função .
f) Considere a curva de nível . Exiba a equação paramétrica da reta tangente a no ponto .
Passo 1
f) Vamos lá, estão nos pedindo pra calcular a reta tangente à no ponto , sendo uma curva de nível de , certo? Então, encontraremos uma equação paramétrica para essa tangente dizendo que ela é perpendicular ao vetor gradiente de nesse mesmo ponto!
Show, vamos ver então qual é o vetor gradiente em ?
E, como esse vetor é perpendicular à superfície no ponto , com certeza é perpendicular à curva , que está na superfície!
Passo 2
Agora vem uma manha de vetores, que lembro que usei quando fiz o vestibular da PUC: para girar um vetor em , inverte as coordenadas do vetor, pega o resultado e muda o sinal da primeira.
Tá, e pra que falei isso? Porque se o vetor é perpendicular à curva, então o vetor perpendicular a ele será tangente à curva! É tipo pensar que o inimigo do seu inimigo é seu amigo XD
Então, girando o vetor em , temos o vetor . Coloquei esse menos aí na frente do pra você lembrar de trocar o sinal da primeira coordenada depois de ter invertido o vetor! Isso é bem importante! E aí conseguimos um vetor que é tangente à curva, e pode ser o vetor diretor da nossa reta tangente!
Tomando o vetor como vetor diretor, tudo o que temos que fazer é multiplicá-lo por um parâmetro e transladá-lo para o ponto de tangência:
Resposta
- Reta tangente: